3.3.3. Критерий Михайлова

Критерий Михайлова относят к частотным критериям. Он базируется на принципе аргумента [50]. Выражение для характеристического полинома рассматривается как функция комплексного переменного, принимающего значения на положительной мнимой полуоси. Критерий сводится к анализу изменения аргумента функции .

Согласно критерию Михайлова для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора , начинаясь при  = 0 на действительной положительной полуоси, с ростом  от нуля до бесконечности обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов, где n — порядок системы:

3.4. Устойчивость систем с типовой структурой

Рассмотрим системы, образованные последовательным и параллельным соединениями звеньев, а также системы с обратной связью.

Будем иметь в виду асимптотическую устойчивость по начальному состоянию, которая устанавливается по модели собственно системы .

3.4.1. Устойчивость систем без контуров

Как показано в 2.10, характеристический полином системы в случае последовательного и параллельного соединений звеньев равен произведению характеристических полиномов звеньев

.

Отсюда следует вывод: необходимым и достаточным условием устойчивости системы, образованной последовательным и параллельным соединениями звеньев, является устойчивость всех звеньев. Вывод сохраняет силу при любом числе звеньев, включенных параллельно и последовательно, т. е. для любых бесконтурных графов.

3.4.2. Устойчивость одноконтурных систем

Характеристический полином замкнутой системы, образованной соединением звеньев с обратной связью (см. рис. 2.9, в),

.

Для одноконтурных систем, образованных любым числом звеньев с передаточными функциями

,

характеристический полином записывается как сумма

(3.6)

полиномов знаменателя и числителя передаточной функции разомкнутой системы

.

О расположении корней полинома (3.6), полученного суммированием двух полиномов, в общем случае без предварительных вычислений ничего сказать нельзя. Необходимо либо вычислить корни , либо применить какой-либо критерий устойчивости. Вместе с тем следует указать на два важных случая.

Если полиномы и имеют нетривиальный общий делитель — полином , т.е. передаточная функция разомкнутой системы имеет диполи, то при замыкании системы соответствующие корни характеристического полинома не перемещаются. Действительно, из выражения

следует, что корни полинома являются и корнями полинома . Таким образом, необходимое условие устойчивости замкнутой системы — все корни наибольшего общего делителя

левые. Достаточное условие неустойчивости — наличие у полиномов и общего делителя с правым корнем.

Как показано в 2.4, наличие общих корней у полиномов числителя и знаменателя передаточной функции соответствует неполной системе. При замыкании такой системы неполная часть своих свойств не изменяет.

непосредственно неизмеряемым возмущениям.

3.5. Критерий Найквиста

Критерий Найквиста является необходимым и достаточным условием устойчивости систем с обратной связью.

Рассмотрим одноконтурную систему с передаточной функцией разомкнутого контура . Рациональная функция

называется возвратной разностью. Скажем также, что это определитель одноконтурного графа с отрицательной обратной связью.

Возвратная разность равна отношению характеристических полиномов замкнутой и разомкнутой систем

.

Будем рассматривать как функцию комплексного аргумента.

Критерий Найквиста базируется на принципе аргумента [ ]. Пусть C — произвольный замкнутый контур без самопересечений на плоскости s, а  — рациональная функция s, не имеющая на контуре C ни нулей, ни полюсов. Разность между количеством нулей и полюсов однозначной функции , заключенных внутри замкнутой кривой C, равна числу полных оборотов, которые делает вокруг начала координат вектор , в то время как точка s описывает контур C по часовой стрелке. При исследовании асимптотической устойчивости в качестве контура C выбирается мнимая ось и полуокружность бесконечного радиуса (контур Найквиста охватывает правую полуплоскость).

Нулями являются корни характеристического полинома замкнутой системы, а полюсами — корни характеристического полинома разомкнутой системы. Если , т.е. разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы кривая при движении s вдоль C по часовой стрелке не охватывала начала координат.

Вместо возвратной разности можно рассматривать возвратное отношение — передаточную функцию разомкнутой системы

.

При этом для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф  — амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы — при движении s вдоль C по часовой стрелке не охватывал точку .

На рис. 3.6, а изображен случай устойчивой замкнутой системы, которая устойчива и в разомкнутом состоянии.

Рис. 3.6. Иллюстрация критерия Найквиста

Если амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы проходит через критическую точку на частоте , то пара корней характеристического полинома замкнутой системы окажутся чисто мнимыми . Этот случай называют колебательной границей устойчивости (рис. 3.6, б).

Рациональные функции и имеют одни и те же полюсы. Если среди них имеется p правых полюсов, т.е. разомкнутая система является неустойчивой, для устойчивости замкнутой системы амплитудно-фазовая характеристика должна p раз охватывать точку против часовой стрелки. В силу симметричности характеристик:

можно ограничиться рассмотрением т.е. половины контура C на комплексной плоскости. Соответственно изменится и формулировка критерия Найквиста.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика p/2 раз охватывала точку против часовой стрелки, где p — число правых корней характеристического полинома разомкнутой системы (правых полюсов передаточной функции разомкнутой системы).

Очевидно, выполнение достаточного условия устойчивости (3.9) гарантирует, что амплитудно-фазовая характеристика (см.рис.3.4) не охватывает точку . Вместе с тем ясно, что необходимое и достаточное условие Найквиста оставляет большую свободу для формирования при условии устойчивости замкнутой системы.

Пусть для примера передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

,

т. е. имеет один правый полюс. Разомкнутая система неустойчива. Для устойчивости замкнутой системы амплитудно-фазовая характеристика при изменении  от нуля до бесконечности должна 1/2 раза охватить точку против часовой стрелки. Как видно из рис.3.7, это возможно при k > 1 (замкнутая система устойчива при и неустойчива при ). Для перемещения корня из правой полуплоскости в левую необходимо достаточно большое усиление контура.

Рис. 3.7. Пример применения критерия Найквиста

Передаточную функцию разомкнутой системы во многих случаях удобно представлять в следующем виде:

,

где — коэффициент передачи разомкнутой системы. Он равен отношению младших отличных от нуля коэффициентов полиномов числителя и знаменателя. Передаточную функцию назовем нормированной. В частном случае ненулевых нулей и полюсов

является коэффициентом усиления; он характеризует свойства контура по постоянному сигналу.

Рассмотрим рациональную функцию

,

числитель которой есть характеристический полином замкнутой системы. Для устойчивости замкнутой системы нормированная амплитудно-фазовая характеристика должна p/2 раз охватывать точку против часовой стрелки.

Такая формулировка критерия Найквиста упрощает исследование зависимости устойчивости замкнутой системы от коэффициента передачи контура. При изменении нормированная амплитудно-фазовая характеристика не изменяется, а критическая точка превращается в критический отрезок (луч), как это показано на рис.3.8. Здесь легко найти критический коэффициент усиления — он соответствует точке пересечения амплитудно-фазовой характеристики с критическим отрезком.

Рис. 3.8. Применение критерия Найквиста для нормированных характеристик

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет полюсы на мнимой оси (остальные левые) — нулевой полюс в случае интегратора в составе звеньев или пару мнимых полюсов консервативного звена, то выбор контура C имеет свою специфику. Чтобы принять число корней p разомкнутой системы внутри контура C равным нулю и сохранить формулировку критерия, этот контур обходит полюсы на мнимой оси по полуокружностям бесконечно малого радиуса.

Амплитудно-фазовая характеристика при значениях, близких к полюсам на мнимой оси, а именно, при их обходе против часовой стрелки по дугам окружности малого радиуса, принимает по модулю бесконечно большое значение; аргумент амплитудно-фазовой характеристики изменяется на по часовой стрелке. Если , то в случае нулевого полюса аргумент изменяется при  = 0 на -/2. На рис.3.9, а в качестве примера качественно изображена амплитудно-фазовая характеристика для передаточной функции:

,

а на рис.3.9, б — для

.

Рис. 3.9. Примеры амплитудно-фазовых характеристик для критических случаев

В случае систем высокого порядка амплитудно-фазовая характеристика может иметь сложный вид, затрудняющий подсчет числа охватов критической точки. Для упрощения рекомендуется считать число переходов амплитудно-фазовой характеристики через луч (-, -1). Переход снизу вверх считается отрицательным, а сверху вниз — положительным. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы сумма переходов через луч равнялась +p/2, где p — число правых полюсов передаточной функции разомкнутой системы.

Особенно удобно применение критерия Найквиста, а также выявление влияния свойств звеньев на устойчивость, если строятся логарифмические частотные характеристики:

.

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет p правых полюсов, для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы в интервале частот, где число переходов через линию - равнялось p/2.

Положительным считается переход снизу вверх, а отрицательным — сверху вниз.

На рис.3.10, а изображены логарифмические частотные характеристики, а на рис.3.10. б — амплитудно-фазовая характеристика так называемой условно-устойчивой системы.

Рис. 3.10. Характеристики условно-устойчивой системы

Критерий Найквиста можно применить только в том случае, когда выполняется необходимое условие устойчивости — неполная часть системы устойчива (диполи передаточной функции левые).

Критерий Найквиста физичен. Хорошо видна роль амплитудных и фазовых преобразований, вносимых контуром, на устойчивость системы в целом. Изначальный смысл применения критерия Найквиста заключается не столько в констатации устойчивости, сколько в выявлении роли контура в перемещении корней характеристического полинома системы. На базе этого критерия можно судить о влиянии свойств элементов на характер свободных движений системы в целом.

Практически важное свойство критерия Найквиста заключается также в том, что по нему можно исследовать устойчивость систем с обратными связями на основе экспериментально снятых частотных характеристик звеньев, образующих контур.