3.2.3. Устойчивость вход-выход
Система называется устойчивой по входу,
если при любом ограниченном воздействии
f(t) ее реакция y(t) является
ограниченной [58]. Устойчивость по входу
характеризует свойство оператора
преобразования вход-выход и анализируется
по моделям
(см. рис.1.18).
Устойчивость вход-выход в случае моделей рассматриваемого класса имеет место, если:
1 — система устойчива по начальным условиям, т.е. корни ее характеристического полинома находятся в левой полуплоскости;
2 — передаточная функция системы осуществима (физичечки реализуема), т. е. степень ее полинома числителя не превышает степень полинома знаменателя.
3.3. Критерии устойчивости
Для выявления устойчивости не обязательно знание корней, хотя в условиях применения ЭВМ их вычисление во многих случаях не представляет особых трудностей.
Для суждения об устойчивости системы или звена, не вычисляя корней характеристического полинома, применяют критерии устойчивости, которые с помощью относительно простых вычислений позволяют установить, лежат ли все корни в левой полуплоскости.
Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости. К алгебраическим относятся критерии Гурвица (A. Hurwitz) и Рауса (E. Routh), а к частотным — критерии Михайлова и Найквиста (H. Nyquist).
3.3.1. Необходимое условие устойчивости
При определении устойчивости по характеристическому полиному, прежде всего, следует проверить выполнение необходимого условия: для того, чтобы все корни полинома имели отрицательные действительные части, все его коэффициенты должны быть одного знака (положительными).
Действительно, представим полином
с единичным старшим коэффициентом как
произведение двучленов
,
если
,
и трехчленов
,
если
.
В случае
коэффициенты всех дву— и трехчленов
положительны. Следовательно, положительны
и все коэффициенты полинома
.
Для систем первого (n = 1) и второго
(n = 2) порядка, это условие и достаточное;
для
необходимо выполнение дополнительных
условий.
Типовое апериодическое звено первого
порядка (n = 1) устойчиво при
;
устойчивы и звенья второго порядка при
.
Интегрирующее (n = 1) и консервативное
(n = 2) звенья не удовлетворяют условию
положительности всех коэффициентов.
Они имеют корни на мнимой оси. Это
соответствует устойчивости по начальному
состоянию (по Ляпунову); однако нет
асимптотической устойчивости. Принято
говорить, что звенья или системы, имеющие
некратные корни характеристического
полинома на мнимой оси ( а остальные —
левые) находятся на границе устойчивости.
Такие системы являются негрубыми —
они теряют устойчивость при сколь угодно
малых изменениях параметров.
3.3.2. Алгебраические критерии
Пусть характеристический полином звена или системы автоматического управления имеет вид:
.
Критерий Гурвица. Для асимптотической
устойчивости необходимо и достаточно,
чтобы при
все диагональные определители матрицы
Гурвица были положительны.
Матрица Гурвица составляется из коэффициентов характеристического полинома следующим образом:
.
Это квадратная матрица
.
Ее диагональными определителями являются
Если выполнено необходимое условие
положительности всех коэффициентов
полинома, то вычисляются второй,
последующие и предпоследний определители.
Очевидно, последний определитель n-го
порядка
положителен при положительности
определителя
.
Например, для системы третьего порядка
(3.4)
матрица Гурвица имеет вид
.
Если выполнено необходимое условие положительности коэффициентов полинома , то следует проверять только знак определителя
.
(3.5)
Для устойчивости системы третьего порядка произведение средних коэффициентов характеристического полинома должно быть больше произведения крайних.
С помощью критерия Гурвица можно строить границы устойчивости и выделять области устойчивости в пространстве коэффициентов полиномов или параметров системы автоматического управления.
Рассмотрим пример системы третьего порядка с характеристическим полиномом (3.4). Пусть все коэффициенты положительны. Проведем замену переменной, не приводящую к изменению расположения корней полинома относительно мнимой оси:
и получим другой полином
,
коэффициенты которого:
,
называют параметрами Вышнеградского.
Границе устойчивости в плоскости
параметров ,
соответствует гипербола Вышнеградского
(рис. 3.2). Параметр нормировки
называется среднегеометрическим корнем,
поскольку
Рис. 3.2.
Диаграмма Вышнеградского (фрагмент)
Для систем высоких
порядков критерий Гурвица не очень
удобен — многократное вычисление
определителей становится трудоемким
и избыточным. Тогда предпочтительнее
применение критерия Рауса, имеющего
также алгоритмическую форму. Этот
критерий позволяет быстро определить
устойчивость системы, если имеется ее
характеристический полином
и заданы численно его коэффициенты.
Критерий Рауса наиболее экономичен по объему вычислений в сравнении с другими критериями. Он широко применяется для анализа влияния параметров системы на ее устойчивость с использованием вычислительных машин, поскольку алгоритм вычислений удобен для программирования.