24. Определитель Вронского решений однородного уравнения и его свойства.

Определителем Вронского системы функций наз-ся опр-ль вида

W(x)=W(y₁...y_n) = ; Трм: Если y₁(x), y₂(x),...,y_n(x) – лз, достаточно число раз дифференциируемые ф-ции, то W(y₁...y_n) тождественно равен нулю. Д-во: исходим из л.з-ти ф-ций: ₁, ₂,...,_n  R , (₁²+₂²+...+_n²  0 ) такие что (₁y₁ + ₂y₂ +...+_ny_n = 0; продифф-м соотношение последовательно n-1 раз и составим систему.

полученную сист. можно рассм-ть как алг. сис. ур-й отн-но неизв-х ₁, ₂,...,_n которая при x в соответствии с усл-м ₁²+₂²+...+_n²  0 имеет ненулевое реш-е. Значит, для x определительсистемы =0, а опр-ль этой системы и есть W(x);

Трм об лнз реш-ях однородного дифф. у-я. Пусть y₁(x), y₂(x),...,y_n(x) – лнз реш-я однор. лин. дифф.у-я n-ного порядка y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1)+...+a_n-1(x)y’+a_n(x)y =0 (1). Тогда W(x) не обращ-ся в 0 ни в одной из точек [a,b]; д-во: предположим, что при некотором x=x₀[a,b]: W(x)=0. Значит, =0; cоставим систему - это система однородных уравнений с неизвестными c₁...c_n. поскольку ее опр-ль, W(x₀)=0, система имеет ненулевое реш-е. Обозначим это нетрив. реш-е через и составим ф-цию: y(x) = . В силу доказанной трм, эта ф-ция явл-ся реш-ем у-я (1). В то же время, согласно первому у-ю системы y(x₀)=0; cогласно второму – y'(x₀)=0 и т.д.. в силу последнего имеем y^(т-1)(x₀)=0. Т.о. построенное реш-е удовлетворяет нужным начальным усл-м (x₀,0,...,0). Значит, по трм о единств., y(x)0. отсюда 0 причем ясно, что не все c_i=0 т.е. получается, что решения – лз, а это противоречит усл-м задачи, а значит, W(x)0 ни в одной точке из [a.b]. Следствия: Поскольку система n решений лин.диф.у-я м.б. либо лз, либо лнз, то W(x) соответсвенно либо тожд. равен нулю, либо не обращ-ся в 0 ни в одной точке. Таким образом, если W(x)=0 в одной точке, то он тождественно равен нулю и решения – лнз.

25. Фундаментальная система решений. Теоремы о существовании фундаментальной системы решений, о ее линейном невырожденном преобразовании.

Определение. Система n линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка называется фундаментальной.

Теорема (О существовании фундаментальной системы решений) : линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка всегда имеет фундаментальную систему решений. Доказательство: выберем n² действительных чисел a_ik таким образом, чтобы det{a_ik}0. Построим систему решений линейного однородного уравнения (1) следующим образом.

Первое решение определим так, чтобы при x=x₀ : y₁(x₀)=a₁₁, y₁(x₀)=a₂₁,…,y^(n-1)₁(x₀)=a_n1. По теореме существования такое решение единственно. Определим второе решение y₂(x) так, чтобы для него н.у. были (x₀,a₁₂,…,a_n2). И т.д. Для y_n(x) за начальные условия берем (x₀,a_1n,…,a_nn). По построению, для этой системы решений W(y₁,y₂,…,y_n)|_x=x00. Следовательно, данная система решений линейно независима, т.е. фундаментальна.

Теорема (О линейном преобразовании фундаментальной системы решений) : если фундаментальную систему решений подвергнуть линейному невырожденному преобразованию, то получится снова фундаментальная система решений. Доказательство: рассмотрим новую систему функций , которая получается линейным невырожденным преобразованием из фундаментальной системы : , причем det A=det A^T0.

Поскольку y_k – решение однородного дифференциального уравнения, то их линейные комбинации z_i также являются решениями . Докажем фундаментальность системы решений z. Составим матрицу . Отсюда W(z₁,…,z_n) = W(y₁,…,y_n) det A. В силу фундаментальности исходной системы {y₁,…,y_n} определитель Вронского W(y₁,…,y_n)0, а поскольку линейное преобразование невырождено – det A0. Поэтому при любых x определитель Вронского W(z₁,…,z_n) системы решений {z₁,…,z_n} отличен от нуля. Значит новая система решений однородного дифференциального уравнения также фундаментальна.

Следствие. Существует бесчисленное множество фундаментальных систем решений однородного дифференциального уравнения.