31 Где в алгоритме симплекс-метода используется метод Гаусса?

ПЕРЕХОД ОТ ОДНОЙ К-МАТРИЦЫ ЗЛП К ДРУГОЙ К-МАТРИЦЕ

Пусть известна К-матрица

.

Обозначим через вектор номеров базисных (единичных) столбцов матрицы , – вектор, компоненты которого есть базисные компоненты опорного плана, определяемого матрицей , и могут быть отличны от нуля. Остальные (n-m) компонент опорного плана, определяемого матрицей , равны нулю. Очевидно, что векторы и полностью задают опорный план, определяемый матрицей . Например, пусть

= ,

тогда = (3, 1, 6); = = (1, 2, 4) и, следовательно, опорный план, определяемый , имеет вид

= (2, 0, 1, 0, 0, 4).

Итак, пусть К-матрица (3.45) определяет невырожденный опорный план

. (3.46)

Выберем в матрице столбец , не принадлежащий единичной подматрице, т.е. , , и такой, что в этом столбце есть хотя бы один элемент больше нуля.

Пусть . Считая направляющим элементом, совершим над матрицей один шаг метода Жордана–Гаусса. В результате получим новую матрицу

в которой столбец стал единичным, но которая может и не быть К-матрицей, так как среди величин могут быть отрицательные. Условия выбора направляющего элемента , позволяющие получить новую К-матрицу , т.е. обосновывающие способ перехода от опорного плана к опорному плану , составляют содержание следующей теоремы, которая была доказана выше:

32 Дайте определение р-матрицы кзлп.

Р-матрица КЗЛП – расширенная матрица системы линейных уравнений, равносильной исходной системе, содержащая единичную подматрицу порядка m на месте n первых столбцов, все симплекс-разности которой неотрицательны. Очевидно, что всякая Р-матрица ЗЛП определяет некоторое базисное решение системы уравнений

33 Дайте определение псевдоплана кзлп.

Базисное решение системы линейных уравнений, определяемое Р-матрицей, называется псевдопланом ЗЛП.

34 Сформулируйте критерий отсутствия решения в алгоритме р-метода

Алгоритмдвойственногосимплекс-метода:

1)выбирают разрешающую строку по наибольшему по абсолютной величине отрицательному элементу столбца свободных членов;

2)выбирают разрешающий столбец по наименьшему по абсолютной величине отношению элементов L строки к отрицательным элементам разрешающей строки;

3) пересчитываютсимплекснуютаблицупоправиламобычногосимплекс-метода;

4) решение проверяют на оптимальность. Признаком получения допустимого оптимального решения является отсутствие в столбце свободных членов отрицательных элементов.

35 В каком случае к решению злп необходимо применять двухэтапный симплекс-метод?

Рассмотрим задачу

= 0,4X₁+ 0,3X₂ + 0,1X₃ + 0,1X₅ + 0,2X₆ (3.71)

2X₂ + 2X₃ + 4X₄ + X₅ = 150

X₁ + X₂ + 2X₅ = 200 (3.72)

X₁ + X₃ + 2X₆ = 300

; j = 1,...,6 (3.73)

Так как ограничения (3.72) рассматриваемой ЗЛП уже имеют вид строгих равенств, то для приведения ее к каноническому виду достаточно только изменить знак функции на противоположный и рассмотреть задачу нахождения –0,4X₁ – 0,3X₂ – – 0,1X₃ – 0,1X₅ – 0,2X₆ (3.74) при тех же ограничениях (3.72)–(3.73).

Рассмотрим расширенную матрицу А системы уравнений (3.72)

Так как матрица А не содержит единичной подматрицы порядка 3, то она не является К-матрицей ЗЛП и, следовательно, к задаче (3.71)–(3.73) не может быть применен симплекс-метод.

Рассмотрим метод отыскания исходного опорного плана (К-матрицы)- метод искусcтвенного базиса.

ПЕРВЫЙ ЭТАП – РЕШЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

ВТОРОЙ ЭТАП – РЕШЕНИЕ ИСХОДНОЙ ЗАДАЧИ