1 Постановка злп.

К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов. Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

2 Запишите злп в форме озлп.

Общая задача линейного программирования (ОЗЛП) может быть сформулирована следующим образом: найти значения переменных Х₁, Х₂,…,Х_n, максимизирующие линейную форму

(x₁,x₂,…,x_n) = c₁x₁+…+c_nx_n (3.1)

при условиях

i = 1,…, m₁ (m₁  m) , (3.2)

i = m₁ + 1,…, m ,

x_j  0, j = 1,…, p (p  n) . (3.3)

Соотношения (3.2) и (3.3) будем называть соответственно функциональными и прямыми ограничениями задачи линейного программирования (ЗЛП).

Значения переменных Х_j (j = 1, 2,…, n) можно рассматривать как компоненты некоторого вектора = (Х₁, Х₂,…, Х_n) пространства Е_n.

3 Запишите злп в форме ОснЗлп.

ЗЛП во многих случаях оказывается ассоциированной с задачей распределительного типа или с задачей производственного планирования, в которой требуется распределить ограниченные ресурсы по нескольким видам производственной деятельности.

Такую ЗЛП можно поставить следующим образом: найти значения переменных Х₁,Х₂,…,Х_n, максимизирующие линейную форму

= (3.4)

при условиях

, i = 1,…, m , (3.5)

xj  0, j = 1,…, n (3.6)

или в векторно-матричной форме

(3.7)

A  (3.8)

x  , (3.9)

где = (с₁, с₂,…, с_n); = (b₁, b₂,…, b_m); А = (a_ij) – матрицы коэффициентов ограничений (3.5). Задача (3.4) – (3.6) или (3.7) – (3.9) называется основной ЗЛП. Основная ЗЛП является частным случаем общей ЗЛП при m₁ = m, p = n.

4 Запишите злп в форме кзлп

Для построения общего метода решения ЗЛП разные формы ЗЛП должны быть приведены к некоторой стандартной форме, называемой канонической задачей линейного программирования (КЗЛП).

В канонической форме

1. все функциональные ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой частью;

2. все переменные неотрицательны;

3. целевая функция подлежит максимизации.

Таким образом, КЗЛП имеет вид:

(3.10)

, (3.11)

(3.12)

или в векторно-матричной форме

(3.13)

(3.14)

(3.15)

КЗЛП является частным случаем общей ЗЛП при m₁ = 0, p = n

5 Приведите озлп к каноническому виду.

Любую ЗЛП можно привести к каноническому виду, используя следующие правила:

а) максимизация целевой функции = c₁x₁+…+c_nx_n равносильна минимизации целевой функции: =-c₁x₁ -…-c_nx_n;

б) ограничение в виде неравенства, например, 3Х₁ + 2Х₂ – Х₃  6, может быть приведено к стандартной форме 3Х₁ + 2Х₂ – Х₃ + Х₄ = 6, где новая переменная Х₄ неотрицательна. Ограничение Х₁ – Х₂ + 3Х₃  10 может быть приведено к стандартной форме Х₁ – Х₂ + 3Х₃ – – Х₅ = 10, где новая переменная Х₅ неотрицательна;

в) если некоторая переменная Х_k может принимать любые значения, а требуется, чтобы она была неотрицательная, ее можно привести к виду , где  0 и  0.