1.Множества. Операции над множествами. Применение операций над множествами при решении задач.

Множество – совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Операции над множествами:

1. Объединения АВ или сумма

Объединением двух А и В называют множества состоящие з элементов или А или В или А и В одновременно.

u

В

А

u

В

А

2. Пересечение (произведение) множеств АВ

Пересечение двух множеств называется множества элементы которых принадлежат и А и В одновременно.

u

В

А

3. Разность (А\В)

Разностью двух множеств называют множества состоящее з тех и только тех элементов которые входят в А и не входят в В.

u

В

А

4. Дополнение А

Дополнением до множества А называют множества А состоящее из тех элементов универсального множества которые не входят в А.

u

А

А

2.Свойства операций над множествами. Примеры.

1. Комутативности :АВ =ВА

АВ =ВА

2. Ассоциотивность : А(ВС) = (АВ)С

А(ВС) = (АВ)С

3. Дистрибутивности : А(ВС)=(АВ)(АС)

А(ВС)=(АВ)(АС)

4. Иденпотентности: АА = А АА = А

5. Законы де Моргана: АВ = А В АВ = АВ

6. Законы поглащения: А(АВ) = А А(АВ) = А

7. Унверсальное и Пустое множество: АА=u АА=

8. Аu=u Аu=А

9. А=А А=

10. Закон двойного отрицания или закон эволюции: А = А

11. Закон исключительной разницы: А\В = АВ

3. Числовые множества и их свойства. Числовая прямая и множества на ней.

Множества элементами которых являются числа, называются числовыми.

Примерами числовых множеств являются:

N=1; 2; 3;…; n;… - множество натуральных чисел

Z₀=0; 1; 2;…; n;… - множество целых неотрицательных чисел

Z=0; 1; 2; …; n;… - множество целых чисел

Q=m/n: mZ, nZ - множество рациональных чисел

R – множество действительных чисел

Между этими множествами существует соотношение

NZ₀ZQR

4.Арифметические векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Ы-мерное векторное пространство.

Арифметическим вектором называется любая последовательность из N действительных чисел А₁ А₂ А_n

Обозначение вектора а=(а₁, а₂, а₃,… а_n)

Заданный вектор а называется координатой вектора

2-вектора с одним и тем же набором координат считаются равными если равны их соответственные координаты.

-а=(-а₁, -а₂, -а₃,… -а_n) называется противоположным к вектору а

Длиной вектора(абсолютным значением) называется величина а  =а₁²+ а₂²+ а₃²,… +а_n²

Вектор длина которого =0 называется нулевым.

Линейные операции:

1. Сложение(суммой 2-х векторов и более)

а=(а₁, а₂, а₃,… а_n)+ в=(в₁, в₂, в₃,… в_n)=(а₁+в₁, а₂+в₂, а₃+в₃…а_n+в_n)

2. Умножение на действительное число 

а* = (а₁, а₂, а₃,… а_n)

Скалярное произведение векторов:

Скалярное произведение 2-х векторов

а = (а₁, а₂, а₃,…, а_n) в = (в₁, в₂, в₃,…, в_n)

называется число равное сумме произведения соответственных координат.

(а, в) = (а₁ в₁ + а₂ в₂ + … а_n в_n)

Свойства скалярного произведения:

1. (а, в) = (в, а)

2. (ав + с) = (ав) + (ас)

3. ( ав) = *(ав)

4. (а а)0 если а0 (аа)= 0 если а =0