1. Первообразная ф-ция и неопределенный интеграл. Свой­ства первообразной. Функция F(x) наз перво-ной от ф-ции f(x) на отр-ке a,b, если во всех т этого отр-ка вып-ся рав-во F’(x)=f(x). Любая непрерывная ф-ия f(x) имеет бесчисленное множ-во перво-х. Если F(x) есть одна из них, то всякая др-я представляется выр-ем F(x)+C, где С - постоянная вел-на, к-рую можно задать произвольно. Если ф-ия F(x) явл-я перво-ной для f(x), то выражение F(x)+C наз неопределенным интегралом от ф-ии f(x) и обозначается символом f(x)dx. Таким образом, по определению, f(x)dx= F(x)+C, если F’(x)=f(x). Если ф-ия f(x) непрерывна на отр-ке a,b, то для этой ф-ии сущ-т перво-ная (а значит, и неопределенный инте­грал). Св-ва перво-ной. Теорема 1: если y=F(x) некоторая первообразная для y=f(x), то для любой C=const функция F(x)+C также первообразная. Доказатель­ство: (F(x)+C)’=F(x)’+C’=f(x). Теорема 2: если F₁(x) и F₂(x) произ­в-ые перво-ые для ф-ии y=f(x) на интервале (a;b), то они отличаются на постоянную вел-ну F₁(x)- F₂(x)=C=const для любого x из интервала (a;b). Док-во: Ф(х) – дифференци­руема на интервале (a;b), тогда Ф(x)=F₁’(x)-F₂’(x)=0  Ф(x)=const.

2 . Таблица интегралов. Интегрирование элементарных функций. x^dx=x^+1/+1 + C; dx/x=lnx+ C; sinxdx=cosx + C; cosxdx=sinx + C; dx/cos²x=tgx + C; dx/sin²x=ctgx + C; tgxdx=lncosx+ C; ctgxdx=lnsinx+C; e^xdx=e^x + C; a^xdx=a^x/lna + C; dx/1+x²=arctgx + C; *dx/a²+x²=1/a arctg x/a + C; *dx/a²x²=1/2a lna+x/ax + C; *dx/1x²= arcsinx + C; *dx/a²x² =arcsin x/a + C; *dx/x²a² =lnx+x²a² + C. Интегралы вида dx/ax²+bx+c и dx/ax²+bx+c приводятся к табличным интегралам * выделением полного квадрата в квадрат­ном трёхчлене.

3. Основные методы интегрирования и свойства неопределенного интеграла. Формулы интегрирования по частям.

Св-ва неопр-го инт-ла: 1. Знак диф-ла перед знаком интеграла уничтожает последний: df(x)dx=f(x); 2. Знак интеграла перед знаком диф-ла уничтожается последний, но при этом вводится произвольное пост-ое слаг-е: d sinx=sinx+C; 3. Постоянный множ-ль можно выносить за знак инт-ла: a f(x)dx=af(x)dx; 4. Интеграл алг-кой суммы = сумме интегралов от каждого слагаемого в отдельности. Фор-ла интегр-ния по частям. Интегр-ем по частям наз сведение данного интеграла UdV к интегралу VdU с помощью формулы UdV=U*V-VdU. За U принимается та ф-ция, интеграла которой нет в таблице. Основные методы интегрирования: 1. Разложение: (f₁(x)+ f₂(x))dx= f₁(x)dx+ f₂(x)dx. Если A=const, то A f₁(x)dx=A f₁(x). 2. Метод подстановки (замены переменной интегрированием): f(x)=f(x(t))dx(t)= f(x(t))x’(t)dt=dtx=x(t)dx=dx(t)dx=x’(t)dt 3. Формула интегрирования по частям: U(x)*V(x) – диф-уема, т.е. существует производная. U(x)*V’(x)dx=U(x)*V(x)- U’(x)*V(x)dx. U*dV=U*V- VdU.

4.Интегрирование простейших рациональных функций.

 P_n(x) dx

Q_m(x)

1. Выделить целую часть (nm).

P_n(x) = P_n1(x) + P_n2(x)

Q _m(x) Q_m(x)

n₂<m; n=n-m.

2. Разложить знаменатель в произведение линейных и квадратичных сомножителей.

Q_m(x)=b_m(x-x₁)…(x-x_c)(x²+p₁x+q₁)…(x²+p_sx+q_s)

3. Дробный член преобразуется в сумму простых дробей.

P_n2(x)= A₁+…+ A_c+ B₁x+C₁+…+B_sx+C_s

Q _m(x) x-x₁ x-x_c x²+p₁x+q₁ x²+p_sx+q_s

4. Вычислить интеграл целых и дробных частей.

26. Признаки сходимости положительных рядов. Признаки сравнения.

Пусть даны 2 знакополож. ряда: ∑a_n, ∑b_n. 1)Признак сравнения. Если для всех членов ряда вып. усл. a_n ≤ b_n то оба сход. или расх. 2)признак сравн. lim a_n/ b_n=k k≠0 k≠∞ Оба сход. или расх. Если k=0 или =∞ то неудачно выбрали ряд для сравн

5.Интегрирование общих рациональных выражений. Метод неопределенных коэффициентов.

Интегрирование общих рациональных выражений.

Проинтегрируем P_n(x)dx Q_m(x) 1. Выделить целую часть P_n(x)dx = P_n1(x)+ P_n2(x) Q _m(x); Q_m(x), n₂<m 2. Разложить знаменатель в произведение линейных и квадратичных сомножителей. Q_m(x)=bm(x-x₁)…(x-x_c)(x²+p₁x+q₁) (x²+p_sx+q_s) 3. Дробный член преобразуется в сумму простых дробей. P_n2(x)dx = A₁ +…+A_c + B₁x+C₁; Q _m(x) x-x₁ x-x_c x²+p₁x+q_1; 4. Вычислить интегралы целых и дробных частей.

Метод неопределенных коэффициентов. Метод неопределенных коэффициентов заключается в разложении знаменателя дроби на многочлены. При этом дробь записывается в новом виде как частное многочлена в знаменателе и коэффициента в числителе перед xⁿ. Причем степень х в числителе на n-1 меньше, чем в знамена­теле. Дроби преобразуются, находятся коэффициенты, и обращается в табличный интеграл.

6.Интегрирование простейших иррациональных функций. Подстановки Эйлера.

Подстановки Эйлера.

Э ти подстановки применяются для интегралов вида R(x, ax²+bx+c)dx. 1 . Первая подстановка Эйлера применима при а>0. Полагаем, что ax²+bx+c+xa=t (1), тогда ax²+bx+c=(t-xa)². Члены, содержащие x², взаимно уничтожаются, и x (а значит, и dx) выражается через t рационально. Подставив это выражение в (1), найдем рациональное выражение и для радикала ax²+bx+c. 2 . Вторая подстановка Эйлера. ax²+bx+c=tx+c. Она применима при с>0. Возводя в квадрат и деля на х, получаем рациональное выражение х через t; затем равенство, написанное выше, дает рациональное выражение радикала. 3 . Третья подстановка Эйлера применима всякий раз, когда ax²+bx+c имеет действительные корни, и, в частности, при а<0. Пусть корни будут x₁, x₂. Тогда полагаем, что a(x- x₁) = t/x- x₂ . Откуда находим рациональное выражение х через t: x= x₂t²-ax₁/t²-a. Рациональное выражение радикала находим так:  ax²+bx+c=a(x- x₁)(x- x₂)=a(x- x₁)(x- x₂)²=t|x- x₂|

x- x₂

Интегрирование прост-х иррациональных ф-ций.

1 . R(x; ^m(ax+b)/(cx+d) dx=R(t)dt=

t = ^m(ax+b)/(cx+d)

x=(b-t^md)/(ct^m-a)

dx=[P_k(t)/( ct^m-a)²]dt

= R b-t^md ; t P_k(t) dt

ct^m-a ct^m-a

2 . R(x;ax²+bx+c)dx=R(t)dt=

D <0, ax²+bx+c=t-xa , x=(t²-c)/(b+2ta),

dx= t²-c ` dt

b+2ta

З амечание: Если D>0, то ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂), то ax²+bx+c=| x-x₂|[a(x-x₁]/( x-x₂)

8. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции.

Рассм зад о выч S плоской фигуры огранич граф. Ф-ции у=f(x) осью ох и вертик прям х=а и х=в. эта пл-я ф наз криволин-й трапец-й. Для выч разабьем отр ав произв-м образом т х₀, х₁,…, х_п, причем х₀=а, х_п=в. провед через т деления верт прям до п с гр ф. Пусть площадь тарап = S, тогда S=∑ S_i. Для выч S_i на каждом отр [x_i-1; x_i] выб произв обр т x’_i-1 и будем считать, что S_i ≈ ∑ f(x’_i)(x_i+1- x_i) (1). Для того, чтобы прибл-ное рав-во (1) было более точное, необх разделить АВ на большее кол-во частей, чтобы ∆x_i = x_i+1 - x_i ум-сь. Пусть λ = max |x_i+1-x_i|. Тогда S = lim(λ→0) ∑ f(x’_i)∆x_i (2)

7.Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Интегрирование тригонометрических функций.

1. Для вычисления интегралов вида cos²ⁿ⁺¹xdx;  sin²ⁿ⁺¹xdx, где n – целое положи­тельное число; удобно ввести вспомогательную функцию sinx в первом случае и cosx – во втором. Для четных степеней sinx или cosx правило 1 не ведет к цели (см. пр-ло 2). 2. Для вычисления интегралов вида cos²ⁿxdx;  sin²ⁿxdx удобно пользоваться формулами cos²x=(1+cos2x)/2; sin²x=(1-cos2x)/2 и вводить вспомогательную функцию cos2x. 3. Для вычисления интегралов вида cos^mx*sinⁿxdx, где, по крайней мере, одно из чисел m, n – нечетное, удобно ввести вспомогательную функцию cosx (если m нечетно) или sinx (если n нечетно). Когда m, n – четные, правило 3 не подходит (см. пр-ло 4). 4. Для вычисления интегралов вида cos^mx*sinⁿxdx, где m и n – четные числа, удобно пользоваться формулами, приведенными в правиле 2 и формулой sinx*cosx=sin2x/2. 5.Для вычисления интегралов вида sin mx*cos nx dx; sin mx*sin nx dx; cos mx*cos nx dx удобно пользоваться преобразованиями sin mx*cos nx=1/2sin(m-n)x+sin(m+n)x sin mx*sin nx=1/2cos(m-n)x-cos(m+n)x cos mx*cos nx=1/2cos(m-n)x+sin(m+n)x 6.Для вычисления интегралов вида tgⁿxdx; ctgⁿxdx (n – целое число, >1) удобно выделить множитель tg²x (или сtg²x).

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Рассмотрим интеграл вида R(sinx, cosx)dx. Покажем, что этот интеграл с помощью подстановки tg(x/2)=t всегда сводится к интегралу от рациональной функции. Выразим sinx и cosx:

sinx=2sin(x/2)*cos(x/2) =2sin(x/2)*cos(x/2) =2tg(x/2) = 2t

1 sin²(x/2)+cos²(x/2) 1+tg²(x/2) 1+t²

cosx=cos²(x/2)-sin²(x/2)=cos²(x/2)-sin²(x/2)=1-tg²(x/2) = 1-t²

1 cos²(x/2)+sin²(x/2) 1+tg²(x/2) 1+t²

Далее, x=2arctgt, dx=2dt/(1+t²) Получили интеграл от рациональной функции: R(sinx, cosx)dx=R(2t/(1+ t²), (1- t²)/(1+ t²))2dt/1+ t².

9. Понятие опред-го интег-ла: Пусть на [a;в] зад-на ф-я y=f(x). Пусть x₀=а x₁<x₂<x₃<…<x_п=в. x_i=x_i+1-x_i; x_i[x_i;x_i+1]. Рассмот-м сумму S=f(x)x_i (1). Сумма (1) наз-ся интегральной суммой. Пусть =махx_i, пусть сущ-ет конеч-й предел суммы вида (1) при 0, независ-й ни от способа разбиения отрезка [a;в] точками x_i, ни от выбора т-ки x_i, тогда этот предел наз-ся определённым интегр-м от ф-и y=f(x) по [a;в] и обознач-ся: _а^в f(x)dx. Сво-ва опред-х интегр-ов: Пусть на [a;в] зад-на ф-я y=f(x), для кот-ой сущ-ет _а^в f(x)dx, где а- нижний предел, а в- верхний, тогда: 1) _а^в f(x)dx=0. 2) _а^в (f1(x)+f2(x))dx= _а^в f1(x)dx+ _а^в f2(x)dx. 3) _а^в кf(x)dx=к _а^в f(x)dx, к=const. 4) f(x)>0, то _а^в f(x)dx>0. 5) _а^в f(x)dx= -^а_в f(x)dx. 6) _а^в f(x)dx= _а^с f(x)dx+ _с^в f(x)dx, где с[а;в]. Теорема о среднем значении определенного интеграла.Определенный интеграл равен произведению длины промежутка интегрирования (a,b) на значение подынтегральной функции в некоторой точке  промежутка (a,b):

_a^bf(x)dx=(b-a)f() (ab)

Доказательство: пусть смещается прямая KL от положения CD к EF. В начале движения S_AKLB меньше чем _a^bf(x)dx, в конце – больше. В некоторый промежуточный момент должно иметь место равенство AKLB= _a^bf(x)dx. Основанием прямоугольника AKLB служит AB=b-a, а высотой - NM, соотв. Точке N() промежутка AB. Значит (b-a) f()=_a^bf(x)dx.