Альтернативная гипотеза:

• это гипотеза о значимости различий. Обозначается как .

• Это то, что мы хотим доказать, поэтому ее иногда называют экспериментальной гипотезой.

Они бывают ненаправленными и направленными.

: не отличается от : отличается от

- : не превышает

• : превышает

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина X, распределение которой P неизвестно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся P называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение P, то есть H:{P= , где   какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения P к некоторому семейству распределений, то есть вида H:{P € }, где   — семейство распределений, называется сложной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке (  фиксированного объема n 1 из распределения P. В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её объем является случайной величиной.

Этапы проверки статистических гипотез:

1. Формулировка основной гипотезы   и конкурирующей гипотезы  . Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.

2. Задание уровня значимости , на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.

3. Расчёт статистики   критерия такой, что:

   • её величина зависит от исходной выборки  ;

   • по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы  ;

   • сама статистика   должна подчиняться какому-то известному закону распределения, так как сама   является случайной в силу случайности Х.

4. Построение критической области. Из области значений    выделяется подмножество С таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство   . Это множество С и называется критической областью.

5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику    и по попаданию (или непопаданию) в критическую область С выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы  .

Статистика – формула, составленная из случайных величин, в которую при расчете будут подставлены полученные результаты (выборка)

Критическая точка - точка, где производная равна нулю, либо неопределенна.

Свойства критической области:

• Содержательно понятно6 что попадание результатов (а именно вычисленной статистики от имеющихся выборок) в критическую область свидетельствуют скорее в пользу , чем .

• Вероятность попадания результата (статистики) в критическую область, если гипотеза истинна, равна α.

3. Ошибки первого и второго рода. Понятия статистики и критерия. Квантилей и уровня значимости.

В идеале эксперимент по проверке гипотезы должен всегда вести экспериментатора к принятию правильного решения. Если гипотеза окажется верной, он должен ее принять. Если – ложной, то отвергнуть. Проводя подобный идеальный эксперимент, экспериментатор всегда будет уверен в правильности своего решения. Но на практике подобный эксперимент невозможен, так как всегда есть шанс ошибки.

На практике при принятии решения должны рассматриваться две возможности. Предположим, что наше решение состоит в отбрасывании гипотезы.

(а) первая возможность – решение оказалось правильным => в действительности выдвинутая гипотеза ложна и должна быть отвергнута.

(б) вторая возможность – наше решение отвергнуть гипотезу ошибочно, и выдвинутая гипотеза верна, но результат ввел экспериментатора в заблуждение.

Ошибка такого рода называется ошибкой первого рода.

Опр. Экспериментатор, отвергая верную гипотезу, допускает ошибку первого рода.

Предположим, что решение состоит в принятии гипотезы.

(а) первая возможность – решение правильное =>выдвинутая гипотеза должна быть принята.

(б) вторая возможность – решение принять гипотезу оказалось ошибочным. Гипотеза ложна, и приняв ее мы допустили ошибку.

Ошибка такого рода называется ошибкой второго рода.

Опр. Экспериментатор, ошибочно принимая ложную гипотезу, допускает ошибку второго рода.

Статистика – формула, составленная из случайных величин, в которую при расчете будут подставлены полученные результаты (выборка)

Все критерии обладают общей логической структурой:

- формулируется пара альтернатив и , на различие которых направлен критерий.

- задается статистика для выбора между и .

- рассчитывается распределение статистики при условии истинности гипотезы .

- для каждого уровня значимости α установлена критическая область.

Критерий, основанный на данной статистике, оказывается полезным, если аномальные значения статистики указывают на предпочтительную истинность гипотезы . Тогда составляют таблицы распределения статистики, помогающие найти квантили для уровня значимости, который пользователь считает разумным для своих целей, - т.е. выделяются границы области аномальных значений, маловероятных при условиях истинности гипотезы .

Если статистика, вычисленная на значениях выборки, попадает в область, это считается убедительным свидетельством в пользу гипотезы .

Некоторые распределения оказываются полезными в большом количестве разных критериев. К таким относятся распределения Стьюдента и хи-квадрата. Другие рассчитываются специально для одной задачи. Две задачи, которые в случае нормального распределения решаются с помощью одного и того же распределения Стьюдента, решаются с помощью двух разных распределений (Вилкоксона и Манна-Уитни), если отказаться от требования нормальности.