Площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически.
t[,],
()=a,
()=b (3)
Пусть уравнения (3) определяют некоторую функцию у=f(x) на отрезке [a,b] и, следовательно, площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле
S=
Сделаем замену переменного в этом интеграле: х=(t), dx=(t)dt.
На основании уравнений (3) получим: у=f(x)=f((t))=(t). Следовательно,
S=
(4)
–
Это и есть формула для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически.
Пример. Вычислить
область, ограниченную эллипсом:
(рисунок).
Вычислим площадь верхней половины эллипса и удвоим. Здесь х[–а,а], следовательно, t[,0].
S=2
=-2ab
=2ab
=2ab
=
=2ab
=ab
Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
2. Полярная система координат (пск).
Выберем на плоскости ось L (полярная ось) и определим точку этой оси О (полюс). Любая точка плоскости однозначно задается полярными координатами ρ и φ, где
r
(ρ) – полярный
радиус,
равный расстоянию от точки М до полюса
О (r≥0);
φ() [0;2Π] – угол между направлением вектора ОМ и осью L (полярный угол).
М
(r;
φ)
Уравнение линии в ПСК может быть записано:
r=f(φ) (4) явное уравнение линии в ПСК
F=(r; φ) (5) неявное уравнение линии в ПСК
Связь между декартовыми и полярными координатами точки.
(
х;у)
(r;
φ) Из
треугольника ОМА:
tg φ =
(восстановление угла φ
по известному тангенсу производится с
учетом того, в каком квадранте (коорд.
четверти) находится точка М).
(r;
φ)
(х;у)
х=rcos
φ y=rsin
φ
Пример. Найти полярные координаты точек М(3;4) и Р(1;-1).
Для М:
=5,
φ=arctg (4/3). Для Р: r=
;
φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.
Пусть в полярной системе координат задана кривая:
r=f(φ), где f(φ) – непрерывная функция при [,].
Определим площадь сектора ОАВ, ограниченную кривой r=f(φ) и радиус-векторами = и =. Рисунок.
Разобьем точками 0=<1<2<…<n= произвольным образом промежуток [,] на n частей [i,i+1] (i=0,1,…,n-1).
Проведем лучи (радиус векторы) =i (i=0,1,…,n-1).
Наша фигура разобьется при этом на n элементарных обобщенных секторов. Рассмотрим i-й сектор. Рисунок.
Функция f(φ) непрерывна при [,]. Следовательно, f(φ) непрерывна на промежутке [i,i+1] и, следовательно, достигает на промежутке [i,i+1] своих наименьшего mi и наибольшего Mi значений.
Проведем две дуги окружностей с центром в точке О и радиусами mi и Mi соответственно. Если через Si обозначить i-го сектора, то будем иметь
,
i=0,1,…,n-1
Просуммировав все эти неравенства по i от 0 до n-1, получим, что площадь S всего обобщенного сектора будет удовлетворять неравенству
(4)
Заметим, что суммы
и
,
являясь нижней и верхней суммами Дарбу
соответственно, являются также
интегральными суммами Римана для функции
f2(φ)
в промежутке [,].
Т.к. f(φ) непрерывна
при [,],
то и
f2(φ)
непрерывна в промежутке [,],
следовательно,
f2(φ)
интегрируема в промежутке [,]существует
предел
и
=
Переходя в неравенстве (4) к пределу при 0, получим,
S= (5)
Замечание 1. Пусть фигура, ограниченная линиями, уравнения которых в полярных координатах имеют вид =, = (<), r=f1(), [,], r=f2(), [,]. При этом предполагается, что f1() и f2(), непрерывны на [,], f1()f2().
(Рисунок)
Обозначим через S площадь фигуры ABCD. Имеем:
S=SODC-SOAB=
-
=
(6)
Замечание 2. Отрезки лучей =, = (один или оба сразу) могут вырождаться в точку.
Пример. (с.561)