Свойства интегрируемых функций.

Интеграл был введен при a<b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда a>b и a=b.

1. Если a>b по определению, полагаем =- (1)

2. Если a=b, то по определению =0 (2)

В дальнейшем предполагаем, что соответствующие интегралы существуют.

3. Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b], тогда и функция f(x) интегрируема на [a;b]. (-произвольное число. Т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла)

=α (3)

Доказательство. Возьмем любое разбиение Р отрезка [a;b]. Составим интегральную сумму Римана для функции f(x):

(f)= =αf(ξ₀)Δx₀+…+ αf(ξ_n-1)Δx_n-1=

=α(f(ξ₀)Δx₀+…+f(ξ_n-1)Δx_n-1=α =(f)

По условию, f(x) интегрируема на [a;b], следовательно существует конечный предел , причем = .

Но тогда = =α

Т.е. существует конечный , следовательно существует , причем

=α ч.т.д.

4. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b], тогда и функция (f(x)g(x)) интегрируема на [a;b]. (Т.е. интеграл от алгебраической суммы двух функция равен алгебраической сумме интегралов).

= + (4)

Доказательство. Возьмем любое разбиение Р отрезка [a;b]. Составим интегральную сумму Римана для функции (f(x)g(x)):

(fg)= =  =(f)(g).

По условию, f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b], следовательно существуют конечные пределы = и = . Но тогда существует и конечный , причем =  

 существует, причем

= + ч.т.д.

Замечание. Свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Свойства (3) и (4) можно объединить: = +

5. Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b]. Если в конечном числе точек промежутка [a;b] изменить значения функции f(x), то от этого интегрируемость функции не нарушится и величина интеграла не изменится.

Доказательство. (А. П. Аксенов, ч.1)

6. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b], тогда и функция р(х)=f(x)g(x) так же интегрируема на [a;b].

Доказательство. (А. П. Аксенов, ч.1)

Свойства определенного интеграла.

7. .

Доказательство. Здесь f(x)=1. Возьмем любое разбиение Р отрезка [a;b]. Составим интегральную сумму Римана для функции f(x)=1. f(_i)=1 _i[x_i,x_i+1].

= = = =b-a =b-a. ч.т.д.

8. Для любых трех чисел а,b и с справедливо равенство:

= + (5)

если только эти три интеграла существуют.

Доказательство.

1. Пусть a<c<b и функция f(x) неотрицательна на [a;b]. Геометрический смысл:

=S₁, =S₂,

=S, тогда S=S₁+S₂

Т.к. предел интегральной суммы σ не зависит от способа разбиения [a;b], то проведем разбиение так, чтобы точка с была точкой разбиения. Например, с=х_m тогда

σ=

Переходя в последнем равенстве к пределу при λ→0, получим равенство (5).

Остальные случаи сводятся к рассмотренному.

2. Пусть a< b <с, тогда по доказанному = + , откуда

= - = + ч.т.д.

S₁=S-S₂

Оценки интегралов.

9. Если на отрезке [a;b], где a<b, функция f(x)≥0, то

≥0 (6)

Доказательство. Т.к. f(x)≥0 на [a;b], то f(ξ_i)≥0, и, следовательно, любая интегральная сумма для этой функции σ≥0.

Переходя в неравенстве ≥0 к пределу при λ→0, получаем ≥0

10. Если на отрезке [a;b] f(x)≤g(x), то

≤ (7)

(т.е. неравенства можно интегрировать).

Доказательство. Рассмотрим функцию g(x)-f(x)≥0. По свойству 9, получаем 0, с другой стороны, = - ≥0 ч.т.д.

11. Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b], тогда функция также интегрируема на [a;b], причем (8)

(Проинтегрировав неравенство получим равенство (8))

12. Следствие. Если всюду на отрезке [a;b] │f(x)│≤k, то

kb-a (9)

Доказательство.

Т.к. =b-a. Получаем равенство (9). Ч.т.д.

Пример. Оценить интеграл .

Т.к. 0cos²x1, то при х12 выполняется неравенство

0  <

Поэтому 0< < (20-12)=

13. Если m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a;b] (m≤f(x)≤М) и ab, то

m(b-a)≤ ≤M(b-a) (10)

Доказательство. Т.к. m≤f(x)≤М, то проинтегрировав его почленно (по свойству (8), получаем .

Но =m = m(b-a), =M = M(b-a) ч.т.д.

Е сли f(x)0, то это свойство иллюстрируется геометрически:

Площадь криволинейной трапеции aABb содержится между площадями прямоугольников аА₁В₁b и аА₂В₂b.

14. Теорема о среднем значении функции на промежутке. Пусть функция f(x) интегрируема в [a;b] и пусть во всем этом промежутке m≤f(x)≤М, тогда

=(b-a) (11), где m≤≤М.

Доказательство. Если a<b, то по свойству 13 имеем: m(b-a)≤ ≤M(b-a)

m≤ ≤M. Положив = получаем равенство (11).

Если a>b, проводим такое же рассуждение для =(а-b), а затем, поменяв пределы, =- =-(а-b)=(b-а) Ч.т.д.

Частный случай теоремы о среднем. Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b], тогда найдется такое значение [a;b], что

=f(ξ)(b-a) (12)

Доказательство. Пусть для определенности a<b.

По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения х [a;b] верно, что m≤f(x)≤М, где m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на [a;b]. Тогда, по формуле (10) имеем

m(b-a)≤ ≤M(b-a) или m≤ ≤M.

Т.к. функция непрерывна на отрезке, то она принимает любое значение между ее наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, найдется такое число [a;b], что

=f(ξ) или =f(ξ)(b-a) ч.т.д.

Геометрический смысл.

Пусть функция f(x) неотрицательна на [a;b]. Тогда теорема о среднем утверждает: найдется такая точка [a;b], что площадь под кривой f(x) на [a;b] равна площади прямоугольника со сторонами f(ξ) и (b-a).

Замечание. Число , определяемое соотношением = , называется интегральным средним значением функции f(x) на промежутке [a;b].

Пример. Определить интегральное среднее значение функции f(x)=sin xsin(x+) в промежутке [0,2].

f_ср.= = =

Обобщенная теорема о среднем для определенного интеграла.

Пусть 1) функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b],

2) m≤f(x)≤М, х [a;b],

3) функция g(x) не меняет знака на [a;b], т.е. либо неотрицательна, либо неположительна на [a;b].

Тогда справедливо соотношение: = , где m≤≤М (13).

Доказательство (Аксенов, ч.1.)

Частный случай обобщенная теоремы о среднем для определенного интеграла. Пусть 1) функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b],

2) функция g(x) не меняет знака на [a;b], т.е. либо неотрицательна, либо неположительна на [a;b].

Тогда найдется такое значение [a;b], что

=f(ξ) (14)

Доказательство. По условию f(x) интегрируема на [a;b], следовательно f(x) ограничена на [a;b] и достигает на [a;b] своих наибольшего и наименьшего значений  m≤f(x)≤М, х [a;b].

Выполнены все условия обобщенной теоремы о среднем. Поэтому,

= , где m≤≤М

Значения М и m достигаются f(x) на [a,b]. Если m<<М, то найдется такое значение [a;b], что f()=.

Значит в этом случае =f(ξ) ч.т.д.

Определенный интеграл как функция верхнего предела.

Е сли функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то она интегрируема на любом отрезке [a;x], вложенном в [a;b].

Рассмотрим функцию

Ф(х)= = (14)

где х [a;b]. Функция Ф(х) - функция верхнего предела интеграла от функции f(t), t[a,b]. (интеграл с переменным верхним пределом).

Верхний предел интегрирования – это переменная функции Ф(х), переменная t – “глухая” переменная.

Геометрический смысл. Если f(t) – неотрицательная функция, то величина (х) численно равна площади криволинейной трапеции аАХх. Эта площадь меняется в зависимости от изменения х.

Например, т.к. =ln x, то значение функции ln x в точке х численно равно площади S(x) под гиперболой y= на отрезке [1;x]. (Рисунок).

Теорема 1. (О непрерывности функции (х)). Если функция f(x) интегрируема в [a;b], то функция Ф(х) непрерывна от х на [a;b].

Доказательство. Придадим х₀ приращение Δх такое, что х0, < и х+Δх [a;b]. Тогда, по свойствам определенного интеграла

Ф(х+Δх)= = + =Ф(х)+

По теореме о среднем, найдется такое значение [х;х+Δх], что

=f(ξ)(х+Δх-х)=f(ξ)Δх, следовательно,

Ф(х+Δх)=Ф(х)+ f(ξ)Δх (15)

Т.к., в частности, [a;b], то m≤f(ξ)≤М, где m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на [a;b].

Переходя в равенстве (15) к пределу при Δх→0, получаем

Ф(х+Δх)=Ф(х)+ f(ξ)Δх=Ф(х)+0=Ф(х).

Т.о. Ф(х) – непрерывна. Ч.т.д.

Теорема 2. (О существовании производной у функции (х)).

Пусть функция f(t) интегрируема отрезке [a;b]. Тогда в каждой точке х [a;b], в которой функция f(t) непрерывна, существует производная функции Ф(х), причем:

Ф΄(х)= =f(х) (16)

Доказательство.

Придадим х₀ приращение Δх такое, что х0, < и х+Δх [a;b].

Из равенства =Ф(х+Δх)-Ф(х)=f(ξ)Δх следует, что

f(ξ)= , где [х;х+Δх]

Переходя к пределу при ∆х→0 и учитывая, что в силу непрерывности функции f(x) f(ξ)=f(х), получаем Ф΄(х)= = f(ξ)=f(х) ч.т.д.

Геометрический смысл. Приращение =f(ξ)Δх равняется площади криволинейной трапеции с основанием Δх, а производная Ф΄(х)=f(х) равна длине отрезка хХ.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то для этой функции существует первообразная на отрезке [a;b].

Например, первообразной для f(x) является функция Ф(х)= .

Примеры. 1) Найти , .

Т.к. sin t² непрерывна на всем отрезке [a,b], то =sin х².

Т.к. - постоянное число, то =0.

2. Найти = .

По правилу Лопиталя, = =1.