Суммы Дарбу.

Пусть на [a;b] задана ограниченная функция f(x). Возьмем некоторое разбиение Р отрезка [a;b]. Обозначим

m_i= , M_i= . Составим суммы.

s(P)= - нижняя сумма Дарбу.

S(P)= - верхняя сумма Дарбу.

Суммы Дарбу зависят от разбиения: если изменить способ разбиения, то изменятся и суммы Дарбу.

Суммы Дарбу являются интегральным только в случае непрерывности функции f(x), причем s(P) – самая маленькая интегральная сумма, S(P) – самая большая.

Свойства сумм Дарбу.

1. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие фиксированному разбиению Р отрезка [a,b]. Пусть  - множество интегральных сумм Римана, соответствующих этому же разбиению Р отрезка [a,b]. Тогда sS, .

Доказательство. Из определения нижней и верхней границ множества {f(x)}, x[x_i;x_i+1], имеем m_if(_i)M_i, ξ_i[x_i;x_i+1], i=0,1,2,…,n-1

Умножим каждое из неравенств x_i(>0). Получим:

m_ix_if(_i)x_iM_ix_i, i=0,1,2,…,n-1

Просуммируем эти неравенства по i=0,1,2,…,n-1

  , т.е. sS ч.т.д.

2. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие фиксированному разбиению Р отрезка [a,b]. Пусть  - множество интегральных сумм Римана, соответствующих этому же разбиению Р отрезка [a,b]. Тогда s=inf{}, S=sup.

3. При добавлении новых точек разбиения, нижняя точка Дарбу может только возрасти, а верхняя сумма Дарбу может лишь уменьшиться.

Доказательство. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие фиксированному разбиению Р отрезка [a,b]. Пусть и – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие новому разбиению, после добавления еще одной точки разбиения [x_i;x_i+1].(Рисунок)

Покажем, что S. Имеем

S=М₀(х₁-х₀)+М₁(х₂-х₁)+…+М_i-1(х_i-х_i-1)+ +М_i+1(х_i+2-х_i+1)+…+М_n-1(х_n-х_n-1).

Все слагаемые суммы S, кроме одного, подчеркнутого, войдут без изменения в выражение для . Вместо слагаемого М_i(х_i+1-х_i) в составе окажутся два слагаемых:

М_i( -х_i) и М_i(х_i+1- ), где М_i= , М_i=

Т.к. {f(x)} при x[x_i, ]{f(x)} при x[x_i,x_i+1]

{f(x)} при x[ ,x_i+1]{f(x)} при x[x_i,x_i+1], то М_iМ_i, М_i М_i. Поэтому

М_i( -х_i)+М_i(х_i+1- )М_i( -х_i)+М_i(х_i+1- )=М_i(х_i+1-х_i). Следовательно, S.

4. Всякая нижняя сумма Дарбу не больше любой верхней суммы Дарбу.

Т.е. для любых разбиений Р и s(P)S( )

Доказательство. Введем новое разбиение Р₀=Р , тогда

s(P)s(P )S(Р )S( ) ( свойству 3), т.е. s(P)S( ) ч.т.д.

Критерий интегрируемости функции.

Теорема. Пусть функция f(x) определена и ограничена на [a;b]. Для того, чтобы функция f(x) была интегрируема на [a;b], необходимо и достаточно, чтобы

Т.е. >0  =(): P: (P)<S(P)-s(P)<.

Замечание. S-s= - = =

=M_i-m_i - колебание функции f(x) в промежутке [x_i,x_i+1].

Теперь критерий интегрируемости функции может быть сформулирован следующим образом: для того, чтобы функция f(x) была интегрируема на [a;b], необходимо и достаточно, чтобы , т.е.

Т.е. >0  =(): P: (P)< <. (Такая форма более удобна).

Классы интегрируемых функций.

Теорема 1. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a;b], то она интегрируема на нем.

Доказательство. Т.к. f(x) непрерывна на [a;b], то, по теореме Кантора, она и равномерно непрерывна на нем, т.е. >0 δ=δ() x₁,х₂: |x₁-x₂|<δ |f(х₁)-f(x₂)|<

Рассмотрим произвольное разбиение Р такое, что (P)<, где =().

Ввиду выбора , (f,x_i)<.

Найдем < = =(b-a).

Ввиду произвольности выбора , это означает выполнения критерия интегрируемости функции: <(b-a). Ч.т.д.

Теорема 2. Пусть ограниченная функция f(x) определена на [a;b] и монотонна на нем. Тогда f(x) интегрируема на [a;b].

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай, когда функция f(x) монотонно возрастающая на [a;b].

Возьмем любое разбиение Р отрезка [a;b]. Т.к. f(x) монотонно возрастающая, то на каждом отрезке разбиения [x_i,x_i+1] имеем:

m_i=f(x_i), M_i=f(x_i+1), _i=f(x_i+1)-f(x_i)

0S-s= =

Имеем 0<x_i, i=0,1,2,…,n-1. Поэтому

0S-s= = =((f(x₁)-f(x₀))+(f(x₂)-f(x₃))+…+(f(x_n)-f(x_n-1)))=

=(f(x_n)-f(x₀))=(f(b)-f(a))

Итак, 0S-s(f(b)-f(a)) (1)

Переходя в неравенстве (1) к пределу при 0, получим

f(x) интегрируема на [a;b]. Ч.т.д.

Теорема 3. Пусть ограниченная функция f(x) определена на [a;b] и непрерывна там всюду, за исключением конечного числа точек (имеет конечное число точек разрыва, кусочно-непрерывна). Тогда f(x) интегрируема на [a;b].

Доказательство. (А. П. Аксенов, ч.1, Г.М. Фихтенгольц, т.2