Частные производные и частные дифференциалы функции нескольких переменных.

Пусть функция u=f(x₁,…,x_n) определена в некоторой открытой области Е. Возьмем точку М₀( ,…, )Е. Зафиксируем все аргументы кроме первого, а первый будем изменять, то получим функцию одного аргумента. Придадим этому значению приращение x₁=x₁- любое, но такое, что x₁0 и точка ( +x₁,…, )Е. Тогда функция получит частное приращение по аргументу х₁ в точке М₀:

=f( +x₁,…, )-f( ,…, )

Аналогично определяется частное приращение функции u=f(x₁,…,x_n) в точке М₀( ,…, ), соответствующее приращению x_k аргумента х_k k=2,3,…,n:

=f( ,…, , +x_k, …, )-f( ,…, ,…, ).

Составим отношение , которое представляет собой функцию x_k, определенную для всех x_k, отличных от нуля и таких, что точка ( ,…, , +x_k, …, )Е.

Если существует (конечный или бесконечный) предел:

,

То он называется частной производной функции u=f(x₁,…,x_n) в точке М₀( ,…, ) по переменной х_k и обозначается:

, , , .

= , k=1,2,…,n

Пример. z=x²siny, z=arctgy/x.

Определение. Частными дифференциалами функции u=f(x₁,…,x_n) по x₁,…,x_n в точке М₀( ,…, ) называются величины:

= x₁,…, = x_k,…, = x_n

,…, ,…, вычисляются в точке М₀( ,…, ).

Если, как и в случае, функции одной переменной, называть дифференциалами независимых переменных их приращения, т.е. положим dx₁=x₁, dx₂=x₂,…, dx_n=x_n, то для частных дифференциалов функции u=f(x₁,…,x_n) будем иметь

= dx₁,…, = dx_k,…, = dx_n

Частный дифференциал функции u=f(x₁,…,x_n) по какой-либо из переменных есть произведение соответствующей частной производной на дифференциал этой переменной: = dx_k, k=1,2,…,n

Полное приращение функции.

Рассмотрим функцию двух переменных u=f(х,у).

Выберем приращения x и y – любые, но такие, что точки (x₀+x,y₀+y)Е(Е – некоторая окрестность точки М₀(х₀,у₀)).

Тогда и точки (x₀,y₀+y) и (x₀+x,y₀)Е.

Разность f=f(x₀+x,y₀+y)-f(x₀,y₀) называется полным приращением функции u=f(х,у) в точке М₀(х₀,у₀).

В случае функции одной переменой у=f(x) в предположении существования в точке х₀ конечной производной f(х₀), для приращения функции имеет место формула:

у=f(х₀)=f(х₀)х+х, где =(х) и 0 при х0

Установим аналогичную формулу для функции u=f(х,у).

Теорема. Если функция u=f(х,у) и ее частные производные f_х(х,у) и f_у(х,у) существуют и непрерывны в точке М₀(х₀,у₀) и некоторой ее окрестности, то справедлива формула:

u=f(x₀,y₀)=f_х(х₀,у₀)x+f_у(х₀,у₀)y+x+y (1)

где =(x), =(y) и 0 x0, 0 y0.

Доказательство. Представим полное приращение функции u=f(х,у) в виде

f=(f(x₀+x,y₀+y)-f(x₀,y₀+y))+(f(x₀,y₀+y)-f(x₀,y₀)) (2)

Разность f(x₀,y₀+y)-f(x₀,y₀) представляет собой приращение функции f(x₀,y) при изменении у от у₀ до y₀+y, т.е. частное приращение функции u=f(х,у) в точке М₀(х₀,у₀). Функция f(x₀,y) – функция одного аргумента у, определенная в промежутке [y₀,y₀+y].

Т.к. по условию теоремы частная производная f_у(х,у) существует в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀), то функция f(x₀,y) в промежутке [y₀,y₀+y] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа о конечных приращениях ( с (a;b): что f(b)-f(a)= (c)(b-a))

Следовательно,

f(x₀,y₀+y)-f(x₀,y₀)=f_у(х₀,у₀+₁у)у (0<₁<1) (3)

А разность f(x₀+x,y₀+y)-f(x₀,y₀+y) представляет собой приращение функции f(x,y₀+y) при изменении х от х₀ до х₀+х, т.е. частное приращение функции u=f(х,у) в точке М₀(х₀,у₀). Функция f(x,y₀+y) – функция одного аргумента х, определенная в промежутке [х₀,х₀+х].

Т.к. по условию теоремы частная производная f_х(х,у) существует в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀), то в этой окрестности существует и частная производная f_х(x,y₀+у). Следовательно, функция f(x,y₀+у) в промежутке [х₀,х₀+х] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа о конечных приращениях. Т.е.

f(x₀+x,y₀+y)-f(x₀,y₀+y)=f_х(х₀+₂х,у₀+у)х (0<₂<1) (4)

Принимая во внимания соотношения (3) и (4), выражение для полного приращения f функции u=f(х,у) в точке (x₀,y₀) может быть записано в виде:

u=f(x₀,y₀)=f_х(х₀+₂х,у₀+у)х+f_у(х₀,у₀+₁у)у (5)

По условию f_х(х,у) и f_у(х,у) непрерывны в точке М₀(х₀,у₀), поэтому

f_х(х₀+₂х,у₀+у)хf_х(х₀,у₀) при х0

f_у(х₀,у₀+₁у)уf_у(х₀,у₀) при у0

Тогда можно записать:

f_х(х₀+₂х,у₀+у)=f_х(х₀,у₀)+,

f_у(х₀,у₀+₁у)=f_у(х₀,у₀)+,

где =(x), =(y) и 0 x0, 0 y0.

Тогда вместо (5) имеем:

u=f(x₀,y₀)=f_х(х₀,у₀)x+f_у(х₀,у₀)y+x+y (1) ч.т.д.

Чтобы записать формулу (1) компактней, введем в рассмотрение выражение = - расстояние между точками (x₀,y₀) и (x₀+x,y₀+y).

Тогда x+y= . Обозначив =,

где  зависит от х и у и 0 при 0. Формулу (1) можно переписать в виде:

u=f_х(х₀,у₀)x+f_у(х₀,у₀)y+ (6)

где 0 при 0.

Доказанная формула (1) распространяется и на случай функции от любого числа переменных., а именно

Пусть функция u=f(x₁,…,x_n) определена в некоторой открытой области Е, содержащей точку М₀( ,…, ).

Пусть функция f(x₁,…,x_n) имеет конечные частные производные ,…, в каждой точке (x₁,…,x_n)Е.

Пусть ,…, непрерывны в точке М₀( ,…, ).

Тогда полное приращение f функции f(x₁,…,x_n) в точке М₀ представимо в виде:

f= ( ,…, )х₁+ ( ,…, )х₂+…+ ( ,…, )х_n+₁x₁+₂x₂+…+_nx_n

Где ₁,₂,…,_n0 при 0, где =

Определение. Функция u=f(x,y) называется дифференцируемой в точке М₀(х₀,у₀), если f(x,y) определена в окрестности этой точки и полное приращение функции в точке (х₀,у₀) представимо в виде

f=Аx+Вy+x+y (7)

Где А и В – постоянные числа, а 0 и 0 при 0.

Теорема 1. Если функция u=f(х,у) и ее (конечные) частные производные f_х(х,у) и f_у(х,у) существуют и непрерывны в точке М₀(х₀,у₀) и некоторой ее окрестности, то она дифференцируема в этой точке.

Теорема 2. Если функция u=f(х,у) дифференцируема в М₀(х₀,у₀), то она непрерывна в этой точке (т.е. бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции)

Теорема 3. Если функция u=f(х,у) дифференцируема в М₀(х₀,у₀), то у нее в этой точке существуют конечные частные производные f_х и f_у, причем f_х(х₀,у₀)=А, f_у(х₀,у₀)=В.

Доказательство. Из того, что функция u=f(х,у) дифференцируема в М₀(х₀,у₀), следует, что f=Аx+Вy+x+y, где 0 и 0 при 0.

Положим у=0, тогда f=_хf=Аx+x  =A+ =A.

Последнее означает, что f_х(х₀,у₀) существует и f_х(х₀,у₀)=А.

Аналогично устанавливается, что f_у(х₀,у₀) существует и f_у(х₀,у₀)=В. Ч.т.д.

Теорема 4. Если у функции u=f(х,у) в точке М₀(х₀,у₀) существуют конечные f_х(х₀,у₀) и f_у(х₀,у₀), то из этого не следует дифференцируемость этой функции в точке М₀(х₀,у₀). Более того, из существования конечных f_х(х₀,у₀) и f_у(х₀,у₀) не следует даже непрерывность функции в точке М₀(х₀,у₀).

Пример. f(х,у)=

У этой функции существуют конечные f_х(0,0)=0 и f_у(0,0)=0, но эта функция в точке О(0,0) не является непрерывной в этой точке.

Понятие дифференцируемости функции 3-х и более переменных вводится аналогично:

Функция f(x₁,…,x_n) называется дифференцируемой в точке М₀( ,…, ), если ее приращение f, вычисленное для этой точки, представимо в виде:

f=А₁х₁+А₂х₂+…+A_nх_n+₁x₁+₂x₂+…+_nx_n, где А₁,А₂,…,A_n – некоторые постоянные числа, ₁,₂,…,_n0 при 0, где =

Производные сложных функций.

Теорема 1. Пусть функция u=f(х,у) определена в некоторой открытой области Е и имеет там непрерывные частные производные u_x=f_x(x,y) и u_у=f_у(x,y). Пусть функции х=(t) и y=(t) определены в промежутке (a,b) и имеют там конечные производные x_t=(t), y_t=(t). Пусть функции (t) и (t) такие, что  t(a,b) точка ((t),(t))Е. Тогда имеет смысл сложная функция u=f((t),(t))=F(t), t(a,b) и  t(a,b) существует конечная производная u_t, причем

(8)

(здесь t – независимая переменная, а х,у – промежуточные аргументы.)

Доказательство. Зафиксируем любое t₀(a,b). Пусть (t₀)=х₀ и (t₀)=у₀ (точка (х₀,у₀)Е), f(х₀,у₀)=u₀. Дадим t₀ приращение t0 и t₀+t(a,b).

Пусть (t₀+t)=х₀+х, (t₀+t)=у₀+у, f(x₀+x,y₀+y)=u₀+u.

Здесь u=f(x₀+x,y₀+y)-f(x₀,y₀) – полное приращение функции u=f(х,у) в точке (х₀,у₀). Для u справедлива формула (1)

u=f_х(х₀,у₀)x+f_у(х₀,у₀)y+x+y, где ,0 при 0.

Тогда =f_х(х₀,у₀) +f_у(х₀,у₀) + + (9)

По условию, функции (t) и (t) имеют в (a,b) конечные производные (t), (t). Следовательно они непрерывны в (a,b), в частности непрерывны в t₀. Но тогда х0 и у0 при t0  0, если t0 . Переходя в (9) к пределу при t0, получим

=f_х(х₀,у₀) +f_у(х₀,у₀)

Следовательно, в точке t₀ существует конечная производная , причем

=f_х(х₀,у₀) +f_у(х₀,у₀)

Т.к. точка t₀ была выбрана произвольно, то ч.т.д.

Доказанная формула (8) распространяется и на случай функции от любого числа переменных. Т.е. когда независимая переменная одна, а промежуточных аргументов n:

(10)

Теорема 2. Пусть функция u=f(x₁,…,x_n) определена в некоторой открытой области ЕRⁿ и имеет там непрерывные частные производные = , = ,…, = . Пусть функции x₁=₁(t₁,t₂,…,t_m), x₂=₂(t₁,t₂,…,t_m),…,x_n=_n(t₁,t₂,…,t_m) определены в области Е^*R^m и имеют там частные производные:

, ,…, ; , ,…, ;…; , ,…, ;

Пусть функции ₁(t₁,t₂,…,t_m), ₂(t₁,t₂,…,t_m),…,_n(t₁,t₂,…,t_m) такие, что (t₁,t₂,…,t_m)Е^*, что точка (₁(t₁,t₂,…,t_m), ₂(t₁,t₂,…,t_m),…,_n(t₁,t₂,…,t_m))Е.

Тогда имеет смысл сложная функция

u=f(₁(t₁,t₂,…,t_m), ₂(t₁,t₂,…,t_m),…,_n(t₁,t₂,…,t_m))=F(t₁,t₂,…,t_m) в Е^*.

и (t₁,t₂,…,t_m)Е^* существуют частные производные , ,…, , причем

= + +…+ ,

= + +…+ ,

……………………………………………………………

= + +…+ .

Доказательство. Чтобы вычислить нужно в каждой из функций ₁(t₁,t₂,…,t_m), ₂(t₁,t₂,…,t_m),…,_n(t₁,t₂,…,t_m) зафиксировать переменные t₂,…,t_m. Но зафиксировав t₂,…,t_m, мы будем в условиях теоремы 1 (или ее обобщения), т.е. получим сложную функцию одной независимой переменной t₁. Следовательно, существует конечная , причем = + +…+ .

(мы воспользовались формулой (10), только вместо следует писать , а вместо , ,…, соответственно , ,…, .

Чтобы вычислить (k=2,3,…,m) нужно в каждой из функций ₁(t₁,t₂,…,t_m), ₂(t₁,t₂,…,t_m),…,_n(t₁,t₂,…,t_m) зафиксировать все переменные, кроме t_k, а затем дифференцировать полученную сложную функцию одной переменной t_k. Тогда по теореме 1 (или ее обобщению), заключаем, что существует конечная , причем

= + +…+ (k=2,3,…,m) ч.т.д.

Полный дифференциал функции.

Пусть функция u=f(х,у) определена в некоторой открытой области Е, содержащей точку (х₀,у₀). Пусть функция u=f(х,у) дифференцируема в этой точке. Возьмем x и y-любые, но такие, чтобы точка (x₀+x,y₀+y)Е. Выражение

f_х(х₀,у₀)x+f_у(х₀,у₀)y (10)

называется полным дифференциалом функции u=f(х,у) в точке (х₀,у₀) и обозначается df(х₀,у₀) или du(х₀,у₀).

По определению df(х₀,у₀)=f_х(х₀,у₀)x+f_у(х₀,у₀)y (11)

df(х₀,у₀) зависит от 4-х не связанных между собой величин х₀, у₀,x,y.

Т.к. x=dx,y=dy, то (11) можно переписать:

df(х₀,у₀)=f_х(х₀,у₀)dx+f_у(х₀,у₀)dy

или du= dx+ f_ydy (12)

Т.о. полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов, т.е. du=d_xu+d_yu.

Тогда формулу для полного приращения функции

u=f_х(х₀,у₀)x+f_у(х₀,у₀)y+x+y, где ,0 при 0 можно записать так

u=df(х₀,у₀)+x+y (13), где ,0 при 0

(x+y)=о() при 0. Тогда из (13) следует, что полный дифференциал функции u=f(х,у) в точке (х₀,у₀) при 0 отличается от полного приращения функции в этой точке на величину бесконечно малую более высокого порядка, чем = .

Этим пользуют при приближенных вычислениях.

Инвариантность формы полного дифференциала.

Пусть функция u=f(х,у) определена в некоторой открытой области Е_ху и имеет там непрерывные частные производные u_x=f_x(x,y) и u_у=f_у(x,y). Пусть функции х=(t,) и y=(t,) определены в области Е_t и имеют там конечные производные x_t, x_, y_t, y_. Пусть функции (t,) и (t,) такие, что (t,)Е_t точка ((t,),(t,))Е_xy. Тогда имеет смысл сложная функция u=f((t,),(t,))=F(t,). При этом функция F(t,) дифференцируема в каждой точке (t,)Е_t и

du=u_xdx+u_ydy (14)

Т.е. соотношение (14) справедливо как в случае, когда х и у – независимые переменные, так и в случае, когда х и у – функции новых переменных.

Доказательство. (с.71-72).

Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

Пример.

Вычислить объем материала, нужного для изготовления цилиндрического стакана размеров: Радиус внутреннего цилиндра R, высота внутреннего цилиндра H, толщина стенок и дна стакана k.(Рисунок)

1. Точное решение. Искомый объем V равен разности объемов внешнего и внутреннего цилиндров. Т.к. радиус внешнего цилиндра равен R+k, а высота H+k, то

V=π(R+k)²(H+k)-πR²H

(формула объема цилиндра - V=πR²H)

или V=π(2RНk+R²k+Hk²+ 2Rk²+k²)

Приближенное вычисление. Обозначим через f объем внутреннего цилиндра, тогда f=πR²H.

Это функция двух переменных R и H. Если увеличить R и H на k, то функция f получит приращение Δf, но это и будет искомый объем, т.е.

V=Δf

Н основании формулы приближения, имеем V≈df

Или V≈ ∆R+ ∆H

Т.к. =2πRH, = πR² , ∆R=∆H=k, то получаем

v≈π(2RHk+R²k)

Сравнивая результаты точного и приближенного вычисления видим, что они отличаются на величину π(2Rk²+ Hk² +k²), состоящую из членов 2-го и 3-го порядка малости относительно k.

При R=4 см, H=20 см, k=0,1 см

При точном вычислении V=17,881π

Приближенном - V≈17,6π

Т.е. приближенная формула дает ошибку меньше 0,3π, т.е. меньше 2% измеренной величины.

Геометрический смысл полного дифференциала.

Полное приращение функции Δz представляет собой геометрическое приращение аппликаты поверхности z=f(x,y), а дифференциал функции dz является приращением аппликаты касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в данной точке, когда переменные х и у получают приращения Δх и Δу.

Если функция z=f(x,y) дифференцируема, то ее полное приращение имеет вид:

Δz=АΔх+ВΔу+αΔх+βΔу

dz= Δх+ Δу – полный дифференциал функции. (4)

,…, ).

Если ввести обозначения x₁=x₁- ,…,x_n=x_n- ,