Билет 19. Логарифмический вычет. Теорема Руше. Принцип агрумента.

Пусть функция аналитическая в области, ограниченной кусочно-гладким контуром, кроме полюсов b1,…,bm, кратности t1,…,tm и нулями (не на границе) a1,….,an кратности q1…qn. Рассмотрим функцию l(z) = f’(z)/f(z). Она аналитична в той же области, кроме полюсов и 0 исходной функции. В достаточно малой окрестности ai f(z) = (z-ai)^(qi)Add(k=0, inf)aki(z – ai), a0i != 0, |z-ai| < epsi. Тогда считаем производную и получаем, что l(z) = 1/(z-ai)F(z), причем Res<z=ai>l(z) = ai. Рассмотрим в достаточно малой окрестности bi. В полной аналогии получаем Res<z=bi>l(z) = -bi. Те мы получили, что (1/(2пi))$<Г>f’(w)dw/f(w) = Add(j=1, m, i = 1, n)Res<z=ai, z= bj>f’(z)/f(z) (не совсем понятная запись, но идея ясна). Обозначим через N = Nf – полное число 0 функции внутри области, P = Pj – полное число полюсов 0 и полюсов. (1/(2пi))$<Г>f’(w)dw/f(w) – логарифмический вычет по кривой Г. Мы доказали теорему. Логарифмический вычет функции f(z) по кривой Г равен разности между числом 0 и числом полюсов функции f(z), содержащихся внутри области DГ, те (1/(2пi))$<Г>f’(w)dw/f(w) = Nf – Pf. Раз функция нигде на кривой не равняется 0 на кривой, то f’(z)/f(z) = (Lnf(z))’(k) – k-ая ветвь многозначной функции Lnf(z). Пусть есть точка из кривой, H0, H1 – аргументы до обхода и после одного обхода кривой. Тогда (1/(2пi))$<Г>f’(w)dw/f(w) = (H1-H0)/2п = Var arg f(z)/2п|Г. H1 – H0 – вариация аргумента функции при обходе по Г. Т Принцип аргумента. Пусть функция f(z) аналитична в замыкании области, без учета полюсов, Pf – полное число полюсов с учетом кратности. Пусть так же функция не обнуляется на контуре, а Nf – полное число нулей внутри области. Тогда логарифмический вычет равен (1/(2пi))$<Г>f’(w)dw/f(w) = Var arg f(z)|Г/2п. Т Руше. Пусть функции f(z) (~ A(D_), q(z) (~ A(D_) область D – ограниченная область, dD – контур. Если на границе dD справедливо |f(z)| > |q(z)|, z (~ dD тогда Nf+q = Nf (Nf+q и Nf – полное число 0). Док-во: раз |f(z)| > |q(z)|  |f(z)| > 0 и |f(z) + q(z)| >=||f(z)| -|q(z)|| > 0. По принципу аргумента Nf+q = (1/(2п))Var arg(f+q)|dD, Nf =… Рассматриваем разность получаем Nf+q – Nf = (1/(2п))Var arg(1 + q/f). Рассмотрим вектор w(z) = 1 + q(z)/f(z): тогда |w(z) – 1| < 1, пока вектор z описывает dD вектор w(z) описывает кривую, целиком лежащую в круге радиуса 1 с центром в точке (1,0) , причем ни разу не обходит (0,0), те Var argw| = 0, те ЧТД.

Следствие1: Основная теорема алгебры. На комплексной плоскости любой многочлен имеет столько же 0, сколько его степень. Док-во: взяв достаточно большое R быдем иметь, что на окружности будет справедливо |a0z^n| > |a1z^(n-1) + … an|. Применив т Руше к исходному многочлену и к a0z^n получим, что они имеют одно и тоже число 0.

Билет 20. Аналитическое продолжение вещественной оси. Элементарные функции.

Элементарные функции комплексного переменного. Многочлен n-ой степени. P(z) = a0z^n + a1z^(n-1)+… + an. P`(z) = a0nz^(n-1) + a1(n-1)z^(n-2)+…+an-1. Рациональная функция R(z) = P(z)/Q(z), P(z), Q(z) – многочлены, a0 != 0, b0 != 0. Функция e^z = exp(z) = e^x(cosy + isiny). chz = [e^z – e^-z]/2. (chz)’ = [e^z – e^(-z)]/2. shz = [e^z – e^-z]. sinz = (e^iz – e(-iz)/2i. cosz = (e^iz + e^(-iz))/2. tgz, ctgz, thz, cthz. На действительной оси рассмотрим отрезок (возможно вырождающийся в луч). Пусть на этом мн-ве задана однозначная функция f(x). Скажем что функция аналитична на M, если её можно разложить в ряд Add(k=0, inf)ak(x-x0)^k = f(x), в окрестности любой точки x0 из мн-ва. Скажем, что функция F(z) – аналитическое продолжение функции f(x) с множества M на область D, если F(z) (~ A(D), F(x) = f(x), x (~ M. Покажем, что если функция аналитична на M, то она допускает такое продолжение. Рассмотрим ряд Add(k=0, inf)ak(x-x0)^k в окрестности, аналогичный ряд будет сходится в комплексной окрестности и определять в этой окрестности аналитическую функцию. Рассмотрим объединение таких окрестностей, получим аналитическое продолжение.