Билет 5. Интегральная формула Коши.

Т Пусть D – область, f(z) аналитична в D, Г из D и DГ тоже из D. Тогда f(z0) = (1/(2пi))$<Г>f(a)da/(a – z0), z0 (~DГ. Эта формула – интегральная формула Коши, интеграл справа – интеграл Коши. Док-во. Так как z0 из DГ  существует её эпс окрестность лежащая в этой области. Область DГ без эпс окрестности – двусвязная, по интегральной формуле коши $<Г>f(a)da/(a-z0) = $<|a – z0| = eps>f(a)da/(a – z0), a – z0 = eps(e^ih), h (~[0, 2п], da = epsi(e^ih)dh. Тогда $<|a – z0| = eps>f(a)da/(a – z0) = i$<0, 2п>f(z0 + eps(e^ih)dh. Теорема о среднем не применима к интегралам от функции комплексного переменного не применима. Разбиваем на два действительных интеграла, и к каждому применим теорему о среднем. Последнее выражение при стремлении к 0 будет иметь вид $<>f(a)da/(a – z0) = 2пif(z0). ЧТД. В частности можно расширить на ограниченную конечно-связную область, граница которой состоит из конечного числа контуров и функция удовлетворяет условию обобщения т коши. f(z) = (1/(2пi))$<Г>f(a)da/(a – z0) (обход по границе положительный).

Билет 6. Принцип максимума аналитической функции.

Для аналитической функции по формуле коши имеем f(z0) = (1/(2пi))$<|z-z0|=r>f(z)dz/(z-z0). Замена z = z0 + re^ih, dz = rie^ih, подставив получаем f(z0) = (1/2п)$<0, 2п>f(z0 + re^ih)dh, которая называется формулой среднего значения.

Пусть f(z) – аналитическая функция. M = sup <z (~ D>|f(z)|, f(z) != const, тогда для любой точки из области верно |f(z)| < M (непостоянная аналитичная функция в области никогда не достигает своего супремума своего модуля). M= 0  f(z) = const, M = +inf – верно. Следовательно 0< M < +inf. Предположим что утверждение теоремы в точке z0 не верно. Покажем, что на любой окружности из области модуль функции равен M. От противного – есть точка на окружности, значение в которой меньше M. Из аналитичности св-во сохранится и в некоторой окрестности, те пускай при h1 < h < h2 модуль строго меньше M. Пишем формулу среднего значения, используя св-во аддитивности разбиваем интеграл, получаем, что правая часть формулы строго меньше M. Противоречие. Значит на любой окружности целиком лежащей в области значение строго M. Теперь надо показать, что любая точка из области имеет своим значением M. Область D – открытая и связная, значит точку z0 и любую из области можно соединить непрерывной кривой. Непрерывная кривая – компакт. Можно выбрать достаточно маленькое число, чтобы любая точка построенной кривой отстояла от границы D более чем на это число. Построим открытое покрытие компакта, окружностями выбранного радиуса, делить на 3. По лемме Гейне-Бореля можно выбать конечное подпокрытие, те выбрать конечное число кругов выбранного радиуса, покрывающих данную кривую. Нехитро видно, что в каждом из центров этих кругов значение модуля равно M. Отсюда получаем, что в любой точке |f(z)| = M. Значит |f(z)|^2 = u^2(x, y) + v^2(x,y) = M^2, тоже константа. Раз так – дифференциал равен 0. Пишем равенство нулю производных по x, y, применяем Коши-Римана, получаем, что u(x,y) = const и v(x, y) = const, значит противоречие.