5.)Перша та друга важлива границя

Перша важлива границя:

.

Друга важлива границя

,або

6)Правила обчислення границь

Послідо́вність — функція визначена на множині

 натуральних чисел яка набуваєзначення на об'єк

тахдовільноїприроди. Границячисловоїпослідо

вності — фундаментальнепоняття 

математичногоаналізу, число, до якого члени

послідовностіпрямуютьзізбільшенняміндекса в

сенсінаступного означення: Дійсне число a назива

ється границею числовоїпослідовності  ,

якщо 

Позначення:   або 

При цьомутакожкажуть, що послідовність 

 збігається до числа a, або має границю

a. Послідовність, щозбігається до деякої границі

називається збіжною, в іншихвипадках —розбіжною.

7)Неперервність ф-ї,класифік точок розриву

ОзначеннянеперервностівточціФункція f називається

неперервноювточціякщо: функція f(x) визначенавточці

x0. існуєграниця . .

Точка розриву - цетака точка (значення аргументу)

вякійфункція не є неперервною.Розрізняютьтаківиди

точокрозриву:Розривназивають усувним, якщо в

данійточцііснує границяфункції, що не збігається

з значеннямфункції.Точку називають точкою

розривупершого роду, якщоіснуютьскінченніліва

та права границі в данійточці, та вони не збігаються.

Якщохоча б одна одностороння границя не існує,

чинескінченна, то точку називають точкою розриву

другого роду.

8)Означення похідної ф-ї в точці. Геом.Зміст похід

Нехай в деякому околі точки x₀ визначена функція f.

Якщо ми візьмемодовільне число x в цьомуоколі, то

приріст аргументу (позначаєтьсяΔx) в цьому випадку

визначається як x−x₀, а прирістфункції (Δy) — як f(x)−f(x₀).

Тоді, якщоіснуєграниця  , то вона називається 

похідноюфункції f в точці x₀.Геоменричний зміст похідної:

Значення похідної   функції   у точці   дорівнює

значенню кутового кофіціента дотичної до кривої 

 у точці з абсцисою  .

Рівняннядотичної до кривої   у точці M( )

маєвигляд: y=f́(x)=tga.

9)Правила обч.Похідних.Похідна

Склад,оберн,та неявно заданої ф-ї

Похіднавід складноїфункції

Похіднавід оберненоїфункції

Похідна віднеявноїфунціїзнаходиться як

.

10) Означення диференціалу ф-ї Правила

обчислення ф-ї

Диференціал в математиці — головна лінійна

частина приросту функції або відображення.

В математичномуаналізі диференціал традицій

новважається нескінченномалим приростом

 змінної. Наприклад, якщо x – змінна, тодіпри

рістзначення x часто позначаєтьсяΔx 

(чи δx, якщоцейприрістмалий). Диференціалd

x також є таким приростом, але нескінченномалим.

Вартозазначити, щотакевизначення не є математи

чнострогим, але вонозручне для розуміння, також

існуєбагатоспособівзробитивизначенняматематич

ноточнішим. Головна властивістьдиференціалу:

якщо y функціявід x, тодідиференціалdy від y 

пов’язаний з dx формулою:

де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовуєінтуїтивнетвердження, щопохідна y по змінній x цеграницявідношенняприростівΔy/Δx де Δx прямує до нуля.

11)Похідні вищих порядків

У деяких задачах виникає необхідність

обчислити похідну від функції, яка є

похідною іншої функції. Такі похідні

називають похідними вищихпорядків.

Нехай функція   задана і диферент

ційовна на деякомупроміжку  .

Якщоіснуєграниця