Спектр колебания при угловой модуляции.

Пусть задано колебание

, о котором известно, что передаваемое сообщение заложено в функцию . Если колебание получено с помощью ФМ, то и полностью совпадают по форме и отличаются лишь постоянным коэффициентом. При этом очевидно, с точностью до постоянного коэффициента совпадают и спектры функций и

При ЧМ функция является интегралом от передаваемого сообщения . Так как интегрирование является линейным преобразованием, то при ЧМ спектр функции состоит из тех же компонентов, что и спектр сообщения , но с измененными амплитудами и фазами.

Отвлекаясь от способа осуществления угловой модуляции — фазовой или частотной — и считая заданным спектр функции , находим спектр модулированного колебания . Для этого выражение преобразуем к виду:

Отсюда следует, что модулированное по углу колебание можно рассматривать как сумму двух квадратурных колебаний: косинусного и синусного каждое из которых модулировано только по амплитуде; закон АМ для косинусного колебания определяется медленной функцией , а синусного — функцией .

Ранее было установлено, что для определения спектра амплитудно-модулированного колебания достаточно сдвинуть на частоту спектр огибающей амплитуд. Следовательно, для нахождения спектра колебания , необходимо сначала найти спектры функций и , т. е. спектры огибающих квадратурных колебаний. Перенос этих спектров на частоту можно затем осуществить таким же образом, как и при обычной АМ.

Из приведенных рассуждений следует, что при одном и том же передаваемом сообщении спектр колебания, модулированного по углу, значительно сложнее, чем спектр модулированного по амплитуде. Действительно, так как и являются нелинейными функциями своего аргумента , то спектры этих функций могут существенно отличаться от спектра функции ; возможно возникновение кратных и комбинационных частот, как это имеет место при обычных нелинейных преобразованиях спектра.

Это обстоятельство, а также наличие двух квадратурных слагаемых показывают, что при угловой модуляции спектр модулированного колебания нельзя получить простым сдвигом спектра сообщения на величину несущей частоты , как это имеет место при АМ. При угловой модуляции связь между спектрами сообщения и модулированного колебания оказывается более сложной.

При тональной модуляции

Это совпадает с ЧМ при Если , , то получаем:

Разложим периодические функции и в ряд Фурье, получим:

где - Бесселева функция первого рода, i-ого порядка от аргумента m. При подстановки в вышеприведенное выражение конкретной функции получим:

То есть при ЧМ и ФМ спектр состоит из бесконечных чисел боковых частот попарно расположенных относительно и отличающихся на . Амплитуда n-ой боковой составляющей , то есть вклад боковых частот в суммарную мощность модулированных колебаний определяется величиной m.