Метод огибающей.

В рассмотренных в предыдущей главе задачах мы имели дело с сигналами, которые по своей форме совпадали с формой передаваемого сообщения. При передаче подобных сообщений задача сохранения информации тесно связана с задачей сохранения формы сигналов.

Иначе обстоит дело с радиосигналом, в котором информация заключена водном из нескольких параметров высокочастотного колебания. Не обяза­тельно сохранять полностью структуру этого колебания; достаточно лишь сохранить закон изменения того параметра, в котором заключена информа­ция. Так, в случае амплитудно-модулированного колебания важно точно передать огибающую амплитуд, между тем как некоторое изменение частоты или фазы заполнения, не имеющее существенного значения, при анализе можно не учитывать. При передаче радиосигналов с угловой модуляцией, наоборот, основное внимание следует уделить точному воспроизведению за­кона изменения частоты и фазы.

Эти особенности радиосигналов открывают путь к упрощению методов анализа передачи их через линейные цепи. Возможность упрощения особен­но существенна, когда радиосигнал представляет собой узкополосный про­цесс, а цепь — узкополосную систему. Это как раз и характерно для реаль­ных радиосигналов и реальных избирательных цепей. Ранее отмеча­лось, что даже для «широкополосных» сигналов ширина спектра радиосиг­нала мала по сравнению с несущей частотой сигнала. Соответственно и по­лоса прозрачности цепи обычно мала по сравнению с ее резонансной часто­той.

Анализ передачи сигнала в подобной ситуации существенно упрощается при использовании понятия аналитического сиг­нала:

,

где комплексная огибающая A(t) содержит всю информацию, заложенную в сигнал в результате модуляции, как амплитудной, так и угловой.

После прохождения через заданную цепь получается новый аналитиче­ский сигнал:

, действительная часть которого:

и есть выходной сигнал.

Таким образом, задача сводится к определению влияния цепи на комп­лексную огибающую входного сигнала.

Эта задача может быть решена двумя способами: спектральным и времен­ным.

1) Спектральный метод.

Спектральная плотность высокочастотного модулированного коле­бания образует два всплеска вблизи частот и , а передаточная функция — вблизи частот и . Для общности здесь принято, что резонансная частота может не совпадать с центральной час­тотой сигнала , т. е. может иметь место расстройка. При этом предпола­гается, что расстройка является величиной того же порядка, что и полоса прозрачности цепи. Спектральная плотность сигнала отлична от нуля толь­ко в области положительных частот. Очевидно, что:

- спектральная плотность огибающей.

Подставив это выра­жение в предыдущее, получим:

.

Перейдем к новой переменной . Тогда:

.

Выражение, стоя­щее в фигурных скобках, соответствует комплексной огибающей выходного колебания

.

Дальнейшее упрощение анализа вытекает из свойств передаточной функ­ции резонансных цепей, обладающих сильно выраженной частотной изби­рательностью. Модуль передаточной функции быстро убывает при удалении от резонансной частоты . Поэтому передаточную функцию целесообразно выражать в виде функции разности .

Введем новое обозначение передаточной функции:

.

Подставив теперь , получим ,

где

Так как при коэффициент передачи практи­чески равен нулю, нижний предел интеграла можно за­менить на . При этом выражение принимает следующий вид:

.

Это выражение ничем не отличается от обычного интеграла Фурье, опре­деляющего оригинал по заданной спектральной плотности огибающей и передаточной функции.

Заменив на р, получим выражение в форме обратного преобразования Лапласа

.

Вычисления, связанные с определением значительно проще, чем при непосредственном определении с помощью обратного преобразования Лапласа, так как переход от к и от к сокращает вдвое число особых точек подынтегральной функции.

Обратимся к общему выражению свертки и перепишем его в форме

где , а

— импульсная характеристика фильтра с резонансной частотой . После подстановки, получим:

.

Вторым интегралом можно пренебречь по сравнению с первым из-за наличия быстропеременного множителя с частотой . Переходя к комплексной форме, получаем:

.

где .

Учитывая, что и являются комплексными огибающими соответственно входного сигнала и импульсной характеристики фильтра, приходим к следующему выражению:

.

Из этого выражения вытекает, что комплексная огибающая выходного сигнала приближенно определяется половиной свертки комплексной оги­бающей входного сигнала с комплексной огибающей импульсной характери­стики цепи:

Последний множитель под интегралом учитывает расстройку центральной частоты спектра сигнала относительно резонансной частоты фильтра . При точной настройке:

.

29