Метод интеграла наложения.

Вместо разложения сложного сигнала на гармонические составляю­щие (спектральный метод) можно воспользоваться разбиением сигнала на достаточно короткие импульсы (рис. а).

Если в основе спектрального метода лежит передаточная функция цепи , то метод интеграла наложения базируется на импульсной характери­стике цепи .

Пусть требуется найти сигнал на выходе цепи, если задан сиг­нал на входе цепи и известна ее импульсная характеристика . Для уяснения сути метода интеграла наложения поступим следующим образом. Разобьем произвольный сигнал на элементарные импульсы, как это по­казано на рис. 6.2, а, и найдем отклик цепи в момент t на элементарный им­пульс (на рис. 6.2, а заштрихован), действующий на входе в момент x. Если бы площадь этого импульса равнялась единице, то импульс можно было бы рассматривать как дельта-функцию, возникшую в момент x. При импульс­ной характеристике цепи отклик в момент t был бы, очевидно, равен . Поскольку, однако, заштрихованная на рис. 6.2, а площадь им­пульса равна (а не единице), отклик в момент t будет .

Для определения полного значения выходного сигнала в момент t нужно просуммировать действие всех импульсов в промежутке от x = 0 до x = t. При суммирование сводится к интегрированию.

Следовательно,

.

В общем случае, если начало сигнала не совпадет с началом отсчета времени x, последнее выражение можно записать в форме

.

Рис. Разбиение сигнала на короткие импульсы (а) и свертка сигнала с импульсной характеристикой (б).

Для реальных цепей всегда выполняется условие

при t < x,

т. е. при отрицательном аргументе функция должна обращаться в нуль, так как отклик не может опережать воздействие. Поэтому выражение можно заменить выражением:

(при этом имеется в виду, что для x > t подынтегральное выражение обра­щается в нуль).

Приведем, наконец, еще одну форму записи, которая получается из выра­жения при замене x на t – u:

.

Интеграл, стоящий в правой части этого выражения, в математике называет­ся сверткой функций и . Таким образом, приходим к сле­дующему важному положению: сигнал на выходе линейной цепи является сверткой входного сигнала с импульсной характеристикой цепи .

Также из этого выражения видно, что сигнал на выходе цепи в момент t получается суммированием мгновенных значений входного сигнала , взятых с весом за все предыдущее время.

При суммировании спектра входного сигнала весовой функцией являлась передаточная функция цепи . В данном случае при суммиро­вании мгновенных значений входного сигнала весовой функцией являет­ся импульсная характеристика цепи, взятая с аргументом , т. е. функция .

Из рис. б, построенного для момента времени , видно, что от­клик цепи на воздействие не может закончиться раньше, чем функция сместится вправо от на время, равное длительности импульс­ной характеристики . Иными словами, сигнал на выходе цепи не может быть короче .

Для того чтобы при прохождении через цепь сигнал не удлинялся, тре­буется выполнение условия , т. е. импульсная характеристика цепи должна приближаться к дельта-функции, а это равносильно требованию рав­номерности передаточной функции , при .

«49»