made by gr.417 at Radiophysical faculty, NNSU (2004) (c)http://rf-nnsu.narod.ru

Вопрос 1. Определение двойных и повторных пределов. Теорема о связи между двойными и повторными пределами.

Определение. Пусть - функция двух независимых переменных, и точка - предельная точка множества , тогда 1) В смысле метрики пространства , при - это двойной предел, 2) Если при существует и существует , то предел называется повторным пределом. Аналогично предел .

Теорема (о связи между двойным и повторным пределом). Пусть для выполнены условия: 1) , - предельная точка множества . 2) При существует конечный предел , тогда существует повторный предел и он равен двойному. Доказательство. Пусть для определенности предел двойной существует и он конечный . , , - очевидно, что неравенство выполняется если одновременно и . . Из того, что существует конечный предел при . Выберем . Составим разность , тогда .

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной.

Определение. Пусть функция , тогда 1) Функция непрерывная в точке называется непрерывной по совокупности переменных в этой точке если . 2) Функция непрерывная в точке называется непрерывной по переменной в этой точке если . Другими словами функция непрерывна по переменной в точке если она непрерывна по этой переменной как функция одной переменной при фиксированных других переменных, равных координатам.

Теорема (о связи непрерывности по совокупности и в отдельности по каждой переменной). Пусть непрерывна в по совокупности переменных, то она непрерывна в этой точке в частности по каждой переменной; обратное утверждение в общем случае неверно, т.е. существует функция непрерывная в по каждой переменной, но разрывная по совокупности переменных. Доказательство. Пусть непрерывна в точке , т.е. , положим , тогда с учетом того, что и |Δf(x₀)|=Δ_if(x₀) имеем . Второе докажем при помощи примера. , . данная функция непрерывна в точке (0,0) в отдельности по каждой переменной: - непрерывна, - непрерывна. при равен - функция не непрерывна, т.к. предел не равен значению функции в этой точке.

Вопрос 3. Определение частной производной. Определение дифференцируемой функции и градиента. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Определение: Пусть функция - функция k переменных ; , положим , , . , если предел этого отношения существует, то его называют частной производной функции в точке . .

Определение. Пусть функция - функция k переменных дифференцируема в точке если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде: , ; , где при . - градиент функции в точке (обозначается ).

Теорема (о непрерывности дифференцируемой функции). Пусть дифференцируема в , тогда эта функция непрерывна в этой точке, обратное утверждение не верно. Доказательство. 1) Пусть дифференцируема в , , , . , непрерывна в . 2) непрерывна в , но не дифференцируема в этой точке, т.к. ее приращ-е Δ не м. быть записано в виде