2. Числовые характеристики и законы распределения непрерывной случайной величины.

Так же, как и для дискретных, для непрерывных случайных величин вводятся числовые характеристики, которые используют плотность вероятности.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X характеризует среднее ожидаемое значение и вычисляется по формуле:

(8.14)

где f(х) — плотность вероятности.

Дисперсия служит для оценки колеблемости случайной величины и вычисляется по формуле:

(8.15)

Среднее квадратическое отклонение:

(8.16)

Все свойства математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, которые рассматривались в лекции 6, справедливы также и для непрерывных случайных величин.

3. Моменты случайной величины

Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины.

Сформулируем определение начальных и центральных моментов как характеристик случайной величины.

Определение 8.5.

Начальным моментом q-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины Х^q:

v_q = М[Х^q]. (8.17)

Начальный момент q-го порядка дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

(8.18)

Для непрерывной случайной величины начальный момент q-го порядка имеет вид:

(8.19)

Определение 8.6.

Центральным моментом q-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины [X - М(х)]^q:

(8.20)

Центральный момент дискретной случайной величины можно вычислить по формуле:

(8.21)

Для определения центрального момента непрерывной случайной величины используют формулу:

(8.22)

Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка — дисперсию случайной величины.

Определение 8.7.

Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии):

(8.23)

Асимметрия характеризует степень несимметричности распределения относительно его среднего уровня. Положительная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону положительных значений. Отрицательная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону отрицательных значений.

Определение 8.8.

Нормированный центральный момент четвёртого порядка (эксцесс) служит характеристикой островершинности или плосковершинности распределения:

(8.24)

Эксцесс характеризует относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением. Положительный эксцесс обозначает относительно остроконечное распределение. Отрицательный эксцесс обозначает относительно сглаженное распределение.

Законы распределения непрерывных случайных величин могут быть весьма разнообразными, но на практике в большинстве случаев встречаются законы распределения определенных типов. Важнейшим из них является нормальный закон распределения, которому подчиняется большинство случайных величин.