30 Вопрос: Вынужденные колебания. Резонанс. Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями. Внешняя периодическая сила, называемая вынуждающей, сообщает колебательной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, происходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или косинуса, то вынужденные колебания будут гармоническими и незатухающими. В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из состояния равновесия), в случае вынужденных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периодической силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на преодоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему остается неизменной. Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы. В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной частотой колебательной системы υ0, происходит резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний — резонанс. Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ0 внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает положительную работу: энергия колеблющегося тела увеличивается, и амплитуда его колебаний становится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний Ат от частоты вынуждающей силы υ представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой: Явление резонанса играет большую роль в ряде природных, научных и производственных процессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.

31 Вопрос: Сложение двух гармонических колебаний с неодинаковыми частотами.

(Биения и модуляции) Если частоты колебаний и , неодинаковы, векторы А1 и А2 будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор А пульсирует по величине и вращается с не постоянной скоростью. Результирующим движение уже будет не гармоническое колебание, а сложный колебательный процесс.

Биения

Биения возникают при сложении колебаний, отличающихся по частоте на небольшую величину, и проявляются в появлении более низкочастотных изменений амплитуды суммарного сигнала, по сравнению с исходными частотами. Амплитуда колебаний при этом меняется от минимального значения равного разности исходных амплитуд до максимального значения, равного сумме амплитуд исходных колебаний, и вновь до минимального значения. Периодом биений является время повторения этого процесса (Рис 1.3.). Рисунок 1.3.

Биения

За счет того, что вращение векторов А1 и А2 происходит с близкими, но отличающимися скоростями, разность фаз этих двух колебаний будет не постоянна, а медленно, то увеличиваться, то уменьшаться. Колебания будут находиться, то в фазе, то в противофазе, в результате амплитуда суммарного сигнала тоже будет меняться. Время за которое разность фаз измениться на 2π и будет периодом биений Тб (Тб = 2π/Δω). Δω -разность круговых частот исходных колебаний. Биения применяют при обнаружении металлических предметов мин, оружия и т.д. Для этого используют два одинаковых высокочастотных колебательных контура, имеющих одинаковую частоту. Если вблизи одного из них появится металлический предмет, частота этого контура немного изменится. При сложении сигналов от этих двух контуров, в суммарном сигнале возникнет низкочастотная составляющая. Ее можно выделить и подать в наушники, в которых возникнут звуковые колебания, сигнализирующие о наличии металлического предмета.

Модуляции

При сложении существенно отличающихся по частоте гармонических колебаний говорят о модуляции. В радиосвязи модуляция используется для передачи звукового сигнала. Для этого в передатчике на высокочастотный сигнал накладывается низкочастотный звуковой сигнал. Принимаемая в приемнике высокочастотная составляющая фильтруется, а низкочастотный сигнал подается на динамик для воспроизведения звука.

32 Вопрос: Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

6.1. Пусть и , тогда траекторией будет прямая линия, рис. 5: .

6.2. При и , траекторией будет эллипс, ( рис. 6): (x2/A2)+(y2/B2)=1.

При разных частотах складывающихся колебаний результирующие траектории будут иметь более сложный вид.

Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.

33 Вопрос: Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова (1846—1915), решившего задачу о распространении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Для вывода уравнения бегущей волны — зависимости смещения колеблющейся частицы от координат и времени — рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис. 220). В данном случае волновые поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то сме­щение x будет зависеть только от x и t, т. е. x = x (x, t). На рис. 220 рассмотрим некоторую частицу В среды, находящуюся от источника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х=0,описываются функцией x(0, t) = A cos wt, то частица В среды колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на t, так как для прохождения волной расстояния х требуется время t = x/v, где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид (154.1)

откуда следует, что x(х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид (154.2)

где А = const — амплитуда волны, w — циклическая частота, j0 — начальная фаза волны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t,[w (t—x/v)+ j0] — фаза плоской волны.

Для характеристики волн используется волновое число

(154.3)

Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид

(154.4)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком члена kx.

Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде

где физический смысл имеет лишь действительная часть. Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.

(154.5)

Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на w, получим откуда

(154.6)

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (154.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как

(154.7)

где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (154.7) справедливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Из выражения (154.3) вытекает, что фазовая скорость

(154.8)

Если фазовая скорость воли в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных

или

(154.9)

где v — фазовая скорость, — оператор Лапласа. Решением уравнения (154.9) является уравнение любой волны. Соответствующей подстановкой можно убедиться, что уравнению (154.9) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (154.2)) и сферическая волна (см. (154.7)). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

34. Вопрос: ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН (от лат. inter - взаимно, между собой и ferio - ударяю, поражаю) - взаимное усиление или ослабление двух (или большего числа) волн при их наложении друг на друга при одноврем. распространении в пространстве. Обычно под интерференц. эффектом понимается отличие результирующей интенсивности волнового поля от суммы интенсивностей исходных волн. И. в.- одно из осн. свойств волн любой природы (упругих, эл--магн., в т. ч. световых, и др.), и такие характерные волновые явления, как излучение, распространение и дифракция, тоже связаны с интерференцией. Расчёт И. в. в линейных средах основан на суперпозиции принципе ,согласно к-рому результирующее волновое поле, создаваемое неск. источниками, равно сумме полей от отдельных составляющих, Для синусоидальных во времени (гармонических) волн при этом удобно пользоваться формализмом комплексных амплитуд: , где А и j - вещественная амплитуда и фаза волны. Согласно принципу суперпозиции, комплексная амплитуда результирующего поля просто равна сумме таковых у отд. слагаемых (), а для интенсивности волны А2 в случае двух волн с амплитудами имеем A2=A21+A22+2A1A2соsDj, (1) где Dj=j2-j1. Величины А1,2, j1,2 в (1) в общем случае являются нек-рыми ф-циями координат и времени, вид к-рых определяется конкретной структурой интерферирующих воли (напр., они зависят от расстоянии до соответствующих источников и их фаз). В результате в тех точках, где Dj=m.2p, где m=0, b1, b2, . . ., А=А1+А2, а интенсивность А2 принимает макс, значение, превышающее сумму интенсивностей налагаемых волн. В точках же, где Dj=(m+1/2)2p, имеет место интерференц. минимум: А=|А1- A2|. В частном случае А1=А2 в этих точках суммарная амплитуда равна нулю, иными словами, интерферирующие волны полностью "гасят" друг друга. В трёхмерном пространстве геом. места точек максимумов и минимумов, соответствующих определ. "порядкам" m, представляют собой нек-рые поверхности, пересечение к-рых с произвольной плоскостью наблюдения (экрана) даёт т. н. интерференц. полосы. Напр., в случае двух плоских волн с фазами j1=-k1r+j01, j2=-k2r+j02 (где k1,2 - волновые векторы, j01, j02 - нач. фазы, определяемые фазами колебаний источников, k1=k2=2p/l) имеем: Dj=-Dkr+j02-j01. где Dk=k2-k1 и поверхности максимумов и минимумов будут представлять собой плоскости, перпендикулярные вектору Dk; при этом расстояние между соседними максимумами равно l[2sin(a/2)]-1, где l - длина волны, a=|Dk|/k - угол между векторами k1 и k2. Предельный случай a=p и А1=А2 соответствует стоячей волне, он может быть реализован, напр., при полном отражении бегущей плоской волны от нек-рой плоскости, перпендикулярной направлению её распространения.

Рис. 1. Интерференция волн от двух точечных источников. Др. характерный пример - интерференция двух сферич. волн, исходящих из соответствующих центров S1 и S2 (рис. 1), разнесённых на нек-рое расстояние d=S1S2. В этом случае Dj=-kD+j02-j01 (где D=r2-r1 - разность хода, r1,2 - расстояния от источников до точки наблюдения) и максимумы так же, как и минимумы между ними, располагаются на гиперболоидах вращения вокруг оси S1S2, а в плоскости, параллельной этой оси, интерференц. полосы имеют вид гипербол. Общее число максимумов здесь определяется из условия |m|[d/l,. Аналогичным образом можно рассмотреть и др. случаи-интерференцию цилиндрич. волн, интерференцию от неск. источников (рис. 2 и 3) и др. С точки зрения энергетич. соотношений образование интерференц. максимумов и минимумов означает перераспределение потока энергии в пространстве - если, напр., отд. источники изотропны (равномерно излучают во все стороны), то неск. таких источников дают уже более сложную "изрезанную" диаграмму направленности А2=А21+А22+2А1А2соsDj, (1) Особым является случай малого расстояния между источниками (d[l/2); здесь при заданных значениях "парциальных" амплитуд волн A1,2 в зависимости от разности j02-j01 изменяется и суммарная мощность излучения, иными словами, источники волн непосредственно влияют друг на друга. В реальной ситуации при

Рис. 2. Вид интерференционных полос в случае двух сферических волн. этом сами амплитуды Al,2 зависят от способа возбуждения источников, напр, для двух близко расположенных электрич. диполей значения амплитуд излучаемых волн и полной мощности излучения оказываются различными в зависимости от того, что считать заданным - токи или напряжения. В случае векторных волн выражение (1) остаётся в силе, если в интерференц. члене под А1А2 понимать

Рис. 3. Интерференционные полосы в случае сферической и плоской волн. скалярное произведение соответствующих векторов. Для существования интерференц. эффекта здесь необходимо, чтобы векторы А1,2 (напр., напряжённости электрич. поля в эл--магн. волне) не были ортогональны друг к другу. Поверхности максимумов и минимумов (и соответствующие им интерференц. полосы на экране) неподвижны, если разность фаз Dj и, строго говоря, также амплитуды A1,2 в (1) неизменны во времени. В случае независимых источников, напр., небольшая расстройка между их частотами Dw=w2-w1 эквивалентна монотонному уходу разности фаз: Dj=Dwt, при этом координаты максимумов и минимумов будут перемещаться в пространстве, а в заданной точке амплитуда будет испытывать биения с разностной частотой Dw: от А1+А2 до |А1- A2|. Такие же биения, но нерегулярные во времени, возникают из-за фазовых нестабильностей источников, если случайные уходы разности фаз порядка или больше p. Возможность наблюдения интерференц. максимумов и минимумов при этом зависит от степени инерционности регистрирующей аппаратуры - любой прибор, строго говоря, проводит усреднения по нек-рому времени t0. Если t0 мало по сравнению с характерным периодом биений результирующего поля ("времени когерентности" t, к-рое порядка обратной ширины спектра волны), то обусловленные интерференц. членом в (1) максимумы и минимумы будут зарегистрированы и в случае независимых источников. По мере роста отношения t0/t, вследствие случайных изменений cosDj(t), происходит постепенное сглаживание ("размывание") интерференц. максимумов и минимумов, а при t0дt И. в. не наблюдается - измеряемая интенсивность А2 результирующего поля будет равна сумме ннтенсивностей составляющих волн. В случае типичных генераторов радиоволн, напр., легко достигается не только условие t0Ъt, но и более сильное неравенство t0Ъ2p/w, поэтому наблюдение И. в. от независимых источников не представляет трудностей. В оптике же для "естеств." источников квазимонохроматич. света (даже отд. спектральных линий теплового излучения газов) ситуация существенно иная - здесь при нормальных условиях значение t~10-9-10-10 с, тогда как для человеческого глаза t0~10-1 с, для скоростных фотокинокамер t0/10-7 с. Поэтому долгое время интерференцию в оптике удавалось наблюдать лишь в случае когерентных волн (см. Когерентность ),получаемых путём разделения излучения от к--л. одного источника. При этом для небольших разностей хода между интерферирующими лучами случайные уходы фаз j1(t) и j2(t) оказываются одинаковыми и разность фаз Dj от времени почти не зависит (о конкретных схемах разделения см. Интерференция света ).Благодаря появлению источников высококогерентного света - лазеров стало возможным наблюдать интерференцию от независимых источников и в оптич. диапазоне, поскольку время их когерентности может достигать 10-2 с и более, а также в результате разработки малоинерц. фотоэлектронных устройств с t0[10-9с. Принцип суперпозиции перестаёт выполняться при распространении волн достаточно большой интенсивности в нелинейных средах; при этом имеют место качественные особенности (см. Волны, Нелинейная оптика, Нелинейная, акустика). Явление И. в. находит разнообразное применение. Для её осуществления разработаны разл. схемы интерферометров (как двух-, так и многолучевых). Тот факт, что расположение интерференц. полос зависит от длины волны и разности хода лучей, позволяет по виду интерференц. картины (или их смещению) проводить точные измерения расстояний при известной длине волны или, наоборот, определять спектр интерферирующих волн. Кроме того, по интерференц. картине можно выявлять и измерять неоднородности среды (в т. ч. фазовые), в к-рой распространяются волны в одном из плеч интерферометра, или отклонения формы поверхности от заданной. Явление И. в., рассеянных от нек-рого объекта (или прошедших через него), с "опорной" волной лежит в основе голографии (в т. ч. оптич., акустич. или СВЧ-голографии). И. в. от отд. "элементарных" излучателей используется при создании сложных излучающих систем (антенн)для эл--магн. и акустич. волн.

35. Вопрос: Стоя́чая волна́ — колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.

Свойства стоячих волн.

1. Они возникают при интерференции бегущей и отраженной волн, имеющих в точке отражения одинаковую длину волны, но взаимно-противоположные направления распространения.

2. Все частицы в стоячей волне одновременно проходят через положения равновесия.

3. Каждая частица имеет свою амплитуду колебаний.

4. Определенные участки – узлы смещения – находятся постоянно в покое. Расстояние между двумя соседними узлами равно половине длины волны.

5. Посредине между узлами находятся участки наиболее интенсивного движения – пучности смещения.

6. При отражении от более плотной среды (неподвижной стены) в месте отражения возникает узел смещения.

7. При отражении от менее плотной среды в месте отражения образуется пучность смещения; первый узел смещения отстоит от места отражения на четверть длины волны.

Опыт Мельде с камертонами (рис. 132) позволяет получить стоячие волны. К концу ножки камертона привязана нить, натягиваемая небольшими грузиками, прикрепленными к другому концу нити. Колебания камертона возбуждают в нити бегущую волну. Она отражается от конца нити и интерферирует с бегущей волной. Возникает стоячая волна. Положения узлов и пучностей неизменны во времени. меняя натяжение нити, можно менять скорость распространения волны, следовательно ее длину и тем самым число узлов и пучностей, укладывающихся на нити.

36. Вопрос:

При экспериментальном исследовании электрического взаимодействия в воздухе всего двух одинаковых тел небольших размеров легко установить, что сила, действующая со стороны одного тела на другое, направлена вдоль линии, соединяющей эти два тела.

Количественное изучение взаимодействия заряженных тел привело французского физика Шарля Огюстена Кулона к выводу, что величина силы взаимодействия двух точечных (2) зарядов в пустом пространстве пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Этот вывод был сделан на основе многочисленных экспериментов с крутильными весами, в которых сила притяжения тел к Земле компенсировалась натяжением нити. Чтобы получить одинаковые по величине и знаку электрические заряды, можно приводить в соприкосновение одинаковые заряженные проводящие шарики.

(Описание устройства и работы крутильных весов есть в учебниках.)

Кулон использовал шарики (плоды) бузины. Устанавливая шарики на определенном расстоянии друг от друга, Кулон сообщал им одинаковые по знаку заряды, и шарики отталкивались и удалялись друг от друга. Для восстановления прежнего расстояния между ними нить, на которой висел на коромысле один из шариков, закручивалась экспериментатором. Угол поворота был пропорционален возникающему «крутильному» моменту сил.

Если радиус вектор, соответствующий двум точкам пространства, в которых находятся маленькие (точечные) тела обозначить символом (3), то установленный Кулоном закон взаимодействия можно представить в виде математической записи:

Здесь F12 – это сила, с которой тело 1 действует на тело 2, q1 и q2 – это заряды тел, а К – это некоторая постоянная величина. Если заряды тел имеют один и тот же знак, то, как показывает формула, тела отталкиваются, если же знаки зарядов тел разные, то они притягиваются.

Силы электрического взаимодействия нескольких точечных тел, как выяснилось, складываются как векторы, то есть подчиняются принципу суперпозиции. Общая сила, действующая на одно тело со стороны других тел, есть сумма векторов сил, действующих на это тело со стороны всех остальных тел по отдельности.

^ Электрическое поле.

Два заряженных тела малых размеров взаимодействуют в свободном (от других тел) пространстве так, что куда бы мы ни поместили второе тело, первое «чувствует» его присутствие. Причем из вида закона взаимодействия (для электростатики закона Кулона) следует, что сила всегда пропорциональна заряду тела.

Очень давно (Майклом Фарадеем) была высказана идея о том, что каждый заряд создает вокруг себя в пространстве «нечто», что в свою очередь воздействует на другие заряды. Это «нечто» было названо «полем». Аналог такого «поля» - излучение лампочки фонарика в воздухе во все стороны. Яркость света зависит от расстояния до фонарика. «Видно» фонарик всюду, но по мере удаления от него свет становится все слабее. «Поле», созданное в пространстве, обладает относительной самостоятельностью. Оно, например, может существовать и после того, как сам его источник уже исчез. Многие из звезд, которые мы видим на небе, светят тем светом, который был испущен многие миллионы лет назад. Оказалось, что идея поля весьма плодотворна, а впоследствии выяснилось, что и сам свет представляет собой электромагнитное поле.

Описывать взаимодействие зарядов мы будем так:

Заряд (или заряды) создали в пространстве электрическое поле, а оно в свою очередь действует на помещенный в него заряд. Теперь «забудем» о том, что поле было создано зарядами. Будем говорить так: «На заряд, помещенный в электрическое поле, действует сила, величина которой пропорциональна заряду, а направление определяется полем». Поле в каждой точке пространства характеризуется «напряженностью» – это векторная величина, равная отношению силы, действующей на малый (пробный) заряд, к величине этого заряда. (4) Идея электрического поля очень хорошо «объясняет» как осуществляется передача зарядов через проводники: при наличии электрического поля в проводнике свободные заряды приходят в движение и это является причиной перераспределения зарядов.

Силовые линии электрического поля

Для отображения на плоских рисунках структуры электрического поля, распределенного в трехмерном пространстве, существует несколько приемов. Один из них состоит в том, что на плоскости рисуются линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с направлением проекции на плоскость рисунка вектора напряженности электрического поля, существующего в данной точке. На линию наносятся стрелочки, которые показывают направление проекции вектора напряженности поля. Эти линии получили название «силовых линий электрического поля», хотя такая линия не показывает величины вектора напряженности поля. Если на плоскость рисунка попадает положительный точечный заряд, то в непосредственной близости от него силовые линии «выходят» из него. Для отрицательного точечного заряда ситуация прямо противоположная: силовые линии «входят» в него. Рисунок силовых линий только качественно описывает структуру электрического поля. Например, поле точечного заряда, расположенного в плоскости рисунка изображается прямыми линиями, которые проходят через точку, в которой находится заряд. Точно такой же рисунок будет и для бесконечной прямой линии равномерно заряженной по длине, которая пересекает плоскость рисунка перпендикулярно ей. Однако в первом случае величина поля зависит от расстояния по закону 1/R2 , а во втором случае по закону 1/R. Точно такой же рисунок будет и для любого тонкого заряженного отрезка, перпендикулярного плоскости рисунка, который лежит на линии, пересекающей плоскость в заданной точке. В этом случае закон изменения величины поля не совпадает ни с 1/R2 , ни с 1/R1.

Напряженность поля точечного заряда:

где q0 - заряд, создающий электрическое поле.

В любой точке поля напряженность направлена всегда вдоль прямой, соединяющей эту точку и q0.

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ( НАЛОЖЕНИЯ ) ПОЛЕЙ

Если в данной точке пространства различные электрически заряженные частицы 1, 2, 3... и т.д. создают электрические поля с напряженностью Е1, Е2, Е3 ... и т.д., то результирующая напряженность в данной точке поля равна геометрической сумме напряженностей.

Силовые линии эл. поля - непрерывные линии, касательными к которым являются векторы напряженности эл.поля в этих точках.

Однородное эл.поле - напряженность поля одинакова во всех точках этого поля.

Свойства силовых линий: не замкнуты (идут от + заряда к _ ), непрерывны, не пересекаются,

их густота говорит о напряженности поля (чем гуще линии, тем больше напряженность).

Графически надо уметь показать эл.поля: точечного заряда, двух точечных зарядов, обкладок

конденсатора ( в учебнике есть).