Rozkład Poissona

Rozkład Poissona jest wygodny do scharakteryzowania zmiennej losowej będącej liczbą zajść pewnego zdarzenia w określonym przedziale czasu . Taką zmienną jest liczba awarii urządzenia przemysłowego w ciągu tygodnia, liczba wypadków samochodowych w ciągu miesiąca, itp. Rozkład Poissona jest też dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego, gdy liczba doświadczeń n jest duża ( , a prawdopodobieństwo „ sukcesu „ ( zajścia interesującego nas zdarzenia ) jest niewielkie ( .

Rozkład Poissona:

dla x= 0,1,2,3,..., (24 )

gdzie jest średnią rozkładu ( i równocześnie jego wariancji ), jest podstawą logarytmów naturalnych ( )

Przykłady

Przykład 1. Klientami sklepu spożywczego są kobiety i mężczyźni > Na podstawie wcześniejszych badań wiadomo ,że prawdopodobieństwo zakupu żywności przez kobietę w tym sklepie wynosi 0,6 .

1. Co jest zmienną losową ?

2. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję badanej zmiennej losowej ?

Rozwiązanie :

a) ) Zmienną losową jest płeć klienta. Przyjmuje ona wartość 1 w przypadku kobiet oraz 0 , gdy do sklepu wchodzi mężczyzna. Jest to przykład zmiennej zero – jedynkowej .

b) oraz

Przykład 2.

Sprzedawca pewnego dobra trwałego użytku kontaktuje się z 8 potencjalnymi klientami dziennie. Z wcześniejszych doświadczeń wiadomo , że prawdopodobieństwo zakupu tego dobra przez potencjalnego klienta wynosi 0,10.

1. jakie jest prawdopodobieństwo tego, że sprzedawca przeprowadzi dokładnie 2 transakcje sprzedaży dziennie ?

2. Jaki odsetek stanowić będą dni, w których sprzedawca nie dokona żadnej transakcji sprzedaży ?

3. Jakiej średniej liczby sprzedanych dóbr trwałego użytku dziennie może się spodziewać sprzedawca ?

Rozwiązanie :

1. Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo w rozkładzie dwumianowym mamy :

Zamiast przeprowadzania dość skomplikowanych obliczeń można również skorzystać z tablic rozkładu dwumianowego odczytując ( dla n=8, k=2, p=0,1

Wobec tego mamy :

b)

zatem 43 % ogółu dni roboczych stanowią takie dni , kiedy nie zostanie dokonana żadna transakcja sprzedaży.

c)

Przykład 3.

Wadliwość produkcji pewnego przedsiębiorstwa wynosi 3%. Z gotowych wyrobów znajdujących się w magazynie sprzedano 40 sztuk.

1. Jakiej średniej liczby braków można się spodziewać w sprzedanej partii towarów

2. Jakie jest prawdopodobieństwo , że dokładnie 5 sztuk wadliwych znajdzie się w sprzedanej partii towarów

Rozwiązanie :

a)

b)

( por. tablicę w rozkładzie Poissona , dla ; )

Inne podejście opiera się na rachunku dystrybuant. Korzystamy z tablic dystrybuanty w tym rozkładzie i mamy :

Zmienna losowa ciągła I jej rozkłady

1. Zmienna losowa ciągła , funkcja gęstości, dystrybuanta, podstawowe charakterystyki

2. Rozkłady zmiennej losowej ciągłej

• Rozkład normalny

• Rozkład logarytmiczno – normalny

• Rozkład chi – kwadrat

• Rozkład Studenta

• Rozkład Fishera – Snedecora

• Inne ( np. rozkład serii, rozkład Darbina - Watsona

Zmienna losowa ciągła jest to taka zmienna , która przyjmuje wszystkie wartości z pewnego określonego przedziału liczbowego.

Dla zmiennej losowej ciągłej pojawia się pojęcie funkcji gęstości. Funkcja gęstości jest to przedziałami ciągła funkcja f(x), dzięki której można określić prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa x znajdzie się w określonym przedziale.

Funkcja gęstości spełnia następujące warunki :

( 1)

(2)

Funkcja gęstości może być interpretowana jako podstawa do liczbowych ustaleń „ średniej gęstości prawdopodobieństwa z otoczenia punktu, zwanego środkiem przedziału klasowego”.

Dystrybuanta dla zmiennej losowej ciągłej określana jest jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmie wartości mniejsze lub równe x_i

( 3 )

Dystrybuanta dla zmiennej losowej ciągłej jest całką z określoną górną granicą x , zapisaną w sposób następujący :

( 4 )

Dla prawdopodobieństwa w przedziale ( x₁ ; x₂ ) należy stosować formułę :

( 5)

Wartość oczekiwana zmiennej losowej ciągłej wyraża się następującym wzorem :

(6)

Wariancja zmiennej losowej ciągłej jest wyznaczona zgodnie z formułą :

(7)

Odchylenie standardowe zmiennej losowej ciągłej dane jest wzorem :

(8)