Test zgodności - Kołmogorowa

Test zgodności Kołmogorowa jest mniej pracochłonny niż test , ale mniej wszechstronny. Stosuje się go jedynie do weryfikacji hipotez , że populacja ma rozkład ciągły .W teście tym porównuje się dystrybuantę empiryczną z hipotetyczną. Na podstawie analizy różnic między wymienionymi dystrybuantami buduje się statystykę : gdzie

Z tablic - Kołmogorowa , dla odpowiednich , wartości , które wykorzystujemy do konstrukcji obszaru krytycznego .

Test - Kołmogorowa służy do weryfikacji następujących hipotez :

1. pewna wylosowana próba zmiennej losowej ma rozkład ciągły o dystrybuancie ; na podstawie wyników tej próby należy zweryfikować hipotezę , gdzie jest hipotetyczną i ciągłą dystrybuantą ,

2. na podstawie dwu losowo pobranych prób sprawdzić hipotezę , że obie próby pochodzą z tej samej populacji , tzn. hipotezę

Test istotności dla hipotezy jest następujący :

1. Wyniki próby porządkujemy według rosnącej kolejności zmiennej x_i z odpowiadającymi jej liczebnościami n_i

2. Wyznaczamy dla każdego x_i wartość empirycznej dystrybuanty , gdzie

3. Z rozkładu hipotetycznego wyznaczamy dla każdej wartości x_i wartość hipotetycznej dystrybuanty F (x)

4. Obliczamy bezwzględną wartość różnicy , tzn. różnicę między dystrybuantą empiryczną a hipotetyczną

5. Obliczamy wartość statystyki :

oraz wartość statystyki :

6. Dla ustalonego poziomu istotności  budujemy obszar krytyczny statystyki  i weryfikujemy hipotezę .

Przykład 5 Zbadano losowo wybranych studentów ze względu na wysokość wydatków przeznaczonych na sport i turystykę w skali rocznej i otrzymano następujące wyniki ( w setkach zł )

Wydatki	Liczba studentów
29,5 – 30 ,5	12
30,5 – 31,5	23
31,5 – 32,5	35
32,5 – 33,5	62
33,5 – 34,5	44
34,5 – 35,5	18
35,5 – 36,5	6

Na poziomie istotności =0,05 zweryfikować hipotezę , że rozkład wydatków na sport i turystykę w grupie studentów jest rozkładem normalnym.

Rozwiązanie : Weryfikujemy hipotezę gdzie jest dystrybuantą rozkładu normalnego ) . Z próby obliczamy oszacowania obu parametrów rozkładu normalnego , otrzymując oraz . Ponieważ próba jest duża , wartości te przyjmujemy jako estymatory i . Obliczenia konieczne do znalezienia wartości empirycznej i teoretycznej dystrybuanty zostały zamieszczone w poniższej tablicy

xj	uj	F(uj ) = F(x)	nj		Fn(x)
30 ,5	-1,71	0,044	12	12	0,060	0,016
31,5	-1,00	0,159	23	35	0,175	0,016
32,5	-0,29	0,386	35	70	0,350	0,036
33,5	0,43	0,666	62	132	0,660	0,006
34,5	1,14	0,873	44	176	0,880	0,007
35,5	1,86	0,969	18	194	0,970	0,001
36,5	2,57	0,005	6	200	1,00	0,005

Otrzymaliśmy zatem D=0,036 . Ponieważ wartość empiryczna statystyki  - Kołmogorowa wynosi 0,509. Z tablicy rozkładu - Kołmogorowa ( granicznego ) odczytujemy dla przyjętego poziomu istotności 0,05 krytyczną wartość , która wynosi 1,358. . Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej , że rozkład wydatków jest rozkładem normalnym .