Wybrane rozkłady zmiennej losowej skokowej

Podstawowymi rozkładami zmiennej losowej skokowej są:

• Rozkład jednopunktowy

• Rozkład dwupunktowy

• Rozkład dwumianowy ( Bernoulliego )

• Rozkład Poissona

Rozkład jednopunktowy

Zmienna losowa X przyjmuje tylko jedną wartość x₁ z prawdopodobieństwem równym 1, czyli :

( 12 )

Łatwo wykazać , że

,

Dystrybuanta F(x) w tym przypadku ma postać :

F(x)= { 0 dla

{ 1 dla ( 13 )

Rozkład dwupunktowy

Mówimy, że zmienna losowa X podlega rozkładowi X podlega rozkładowi dwupunktowemu, jeśli zbiór wartości { x₁ , x₂ } jest dwuelementowy , przy czym :

P(X=x₁)=q ( 14 )

P(X=x₂)=p ( 15 )

oraz p+q=1

Szczególnym przypadkiem rozkładu dwu – punktowego jest tzw. Rozkład zero – jedynkowy , gzie przyjmuje się, że x₁ = 0 oraz x₂ = 1 .

Mamy więc :

P(X=0)=q ( 16 )

P(X=1)=1 ( 17 )

Przy czym p + q = 1 , skąd q = 1 – p

Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej podlegającej rozkładowi zero – jedynkowemu:

E(X)=p ( 18 )

( 19 )

Dystrybuanta w tym przypadku ma postać następującą :

F(x) = { 0 dla

{ 1 – p dla

{ 1 dla x > 1

Rozkład dwumianowy

Przypuśćmy, że wykonujemy n niezależnych doświadczeń ( np. rzucamy 10 razy kostką do gry albo wykonujemy 7 rzutów monetą itp. ). Przyjmujemy, że każde z tych doświadczeń może zakończyć się sukcesem albo porażką, przy czym prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesu w każdym z wykonywanych doświadczeń jest takie samo i wynosi .

Zmienną losową definiujemy jako liczbę sukcesów uzyskanych przy wykonywaniu n doświadczeń.

Dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa :

( 20 )

gdzie p jest prawdopodobieństwem sukcesu w jednym doświadczeniu, q=1-p, z kolei n jest liczbą doświadczeń, a x jest liczbą sukcesów .

Rozkład zdefiniowany wzorem ( 20 ) jest rozkładem dwumianowym lub rozkładem Bernoulliego. Nazwa pochodzi od matematyka Jacquesa Bernoulliego ( 1654 – 1705 ). Doświadczenia Bernoulliego to ciągi identycznych doświadczeń spełniających nastęoujące warunki :

1. Są dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazwane sukcesem lub porażką. Wyniki te wykluczają się i dopełniają.

2. Prawdopodobieństwo sukcesu oznaczone przez p, pozostaje takie samo od doświadczenia do doświadczenia. Prawdopodobieństwo porażki, oznaczone przez q, równe jest 1-p

3. Doświadczenia są od siebie niezależne. Znaczy to , że wynik któregokolwiek doświadczenia nie ma wpływu na wyniki pozostałych doświadczeń .

Średnia, wariancja I kształt rozkładu dwumianowego

Średnia rozkładu dwumianowego jest to iloczyn liczby doświadczeń n i prawdopodobieństwa sukcesu w pojedynczym doświadczeniu p.

Wariancja jest iloczynem liczby doświadczeń n , wartości p oraz q . Prawdziwe są poniższe wzory :

Średnia rozkładu dwumianowego :

( 21 )

Wariancja rozkładu dwumianowego :

( 22 )

Odchylenie standardowe rozkładu dwumianowego :

( 23 )

Kształt rozkładu prawdopodobieństwa dwumianowej zmiennej losowej jest symetryczny przy p=1/2. Rozkład jest skośny prawostronnie przy p < ½ , a lewostronnie przy p > ½ gdy liczba doświadczeń n jest niewielka.

Dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa jest jednym z najpowszechniej stosowanych rozkładów w badaniach statystycznych.