Testy nieparametryczne

Sprawdzanie hipotezy na podstawie testu zgodności

Populacja generalna ma dowolny rozkład o dystrybuancie należącej do zbioru rozkładów o określonym typie postaci funkcyjnej dystrybuanty. Mogą to być dystrybuanty typu ciągłego i skokowego. Z populacji tej losujemy niezależnie dużą próbę , a wyniki losowania dzielimy na r rozłącznych klas o liczebności n_i w każdej klasie , przy czym Podział na klasy tworzy tzw. Rozkład empiryczny . Na podstawie wyników próby stawiamy hipotezę , że dystrybuanta populacji należy do klasy określonych dystrybuant, którą będziemy oznaczać przez  ; tzn. , gdzie F ( x ) jest dystrybuantą rozkładu populacji. Porównanie dystrybuanty F ( x) z dystrybuantą empiryczną daje możliwość weryfikacji postawionej hipotezy. Test zgodności dla tej hipotezy jest następujący : z hipotetycznego rozkładu należącego do poszczególnych klas wartości badanej cechy x prawdopodobieństwa p_i, że zmienna losowa x o rozkładzie  przyjmie wartości należące do klasy o numerze i ( i=1,2,3,...,m ) . Z kolei mnożąc p_i przez liczebność całej próby , otrzymujemy liczebności teoretyczne , które wystąpią w poszczególnych klasach , jeżeli postawiona hipoteza H₀ jest prawdziwa. Statystyką weryfikującą H₀ jest hipoteza :

która ma przy słuszności założenia H₀ rozkład asymptotyczny o r-1 stopniach swobody , lub r-1-k stopniach swobody ( r – jest liczbą klas , k – liczbą parametrów , które wyznaczamy dla funkcji należącej do ). Obszar krytyczny w tym teście buduje się prawostronnie w oparciu o rozkład statystyki . Z tablic rozkładu , dla ustalonego z góry poziomu istotności  , odczytujemy wartość krytyczną , by zachodziło . Jeżeli , to H₀ należy odrzucić , jeżeli , to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy.

Przykład 4 Losowa próba n=200 niezależnych obserwacji miesięcznych wydatków na żywność rodzin trzyosobowych dała następujący rozkład tych wydatków ( w tys. zł)

Wydatki	Liczba rodzin
1,0 - 1,4	15
1,4 - 1,8	45
1,8 – 2,2	70
2,2 – 2,6	50
2,6 – 3,0	20

Na poziomie istotności =0,05 należy zweryfikować hipotezę ,że rozkład wydatków jest normalny.

Rozwiązanie Stawiamy hipotezę , gdzie jest klasą wszystkich dystrybuant normalnych. Dwa parametry rozkładu tej dystrybuanty , średnią i odchylenie standardowe , szacujemy z próby za pomocą estymatorów tys. zł . , s=0,43 tys. zł – są one potrzebne do standaryzacji . Pozostałe obliczenia znajduję się w tablicy

xi	ni	ui	F(ui)	pi	npi	(ni-npi)2	(ni-npi)2/npi
1,4	15	-1,39	0,082	0,082	16,4	1,96	0,12
1,8	45	-1,46	0,323	0,241	48,2	10,24	0,21
2,2	70	0,46	0,677	0,354	70,8	0,64	0,01
2,6	50	1,39	0,918	0,241	48,2	3,24	0,07
3,0	20	2,32	1,00	0,082	16,4	12,96	0,79
	200			1,000	200		1,20

Odpowiednia liczba stopni swobody wynosi 5-1-2=2. Z tablic rozkładu dla dwóch stopni swobody i dla przyjętego poziomu istotności =0,05 odczytujemy wartość krytyczną . Mamy , nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy , że rozkład miesięcznych wydatków w populacji rodzin trzyosobowych jest normalny.