Trzy główne aspekty centralnego twierdzenia granicznego

1. Jeżeli liczebność próby jest dostatecznie duża , to rozkład średniej z próby , , jest normalny

2. Oczekiwaną wartością średniej jest

3. Odchyleniem standardowym średniej jest

Historia centralnego twierdzenia granicznego jest związana z rozkładem normalnym jako rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego, gdy n rośnie nieograniczenie.

Aby wykorzystać centralne twierdzenie graniczne, powinniśmy znać standardowe odchylenie w populacji, . Gdy nie jest znane, trzeba się posłużyć jego estymatorem z próby , S. W takim przypadku rozkład standaryzowanej statystyki jest następujący :

( 2 )

gdzie S zastępuje nieznane i nie jest standaryzownym rozkładem normalnym.

Jeśli rozkład w populacji jest normalny, to statystyka określona wzorem ( 2 ) ma rozkład t – Studenta o n-1 stopniach swobody .

Centralne twierdzenie graniczne dla przypadku pobierania próby do oszacowania frakcji elementów danej kategorii populacji , p jest sformułowane następująco :

Gdy liczebność próby n wzrasta , to rozkład frakcji z próby , , zbliża się do rozkładu normalnego o średniej p o odchyleniu standardowym

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika , iż rozkład średniej z próby i rozkład frakcji z próby zbliżają się do rozkładu normalnego , gdy wzrasta liczebność próby .

Estymatory I ich własności

Estymator jest nieobciążony , jeżeli jego wartość oczekiwana jest równa parametrowi populacji , do oszacowania którego służy. Np. Średnia z próby jest nieobciążonym estymatorem średniej z populacji .

Systematyczne odchylanie się wartości estymatora od szacowanego parametru nazywa się obciążeniem estymatora .

Estymator jest efektywny , jeżeli ma niewielką wariancję ( a tym samym niewielkie odchylenie standardowe )

Estymator jest zgodny , jeżeli prawdopodobieństwo , że jego wartość będzie bliska wartości szacowanego parametru , wzrasta wraz ze wzrostem liczebności próby .

Estymator jest dostateczny , jeżeli wykorzystuje wszystkie informacje o szacowanym parametrze , które są zawarte w danych ( w próbie )

Przykład 1.

W wylosowanych 9 punktach sprzedaży w pewnym mieście w określonym dniu zbadano cenę produktu A i otrzymano następujące rezultaty :

Punkt sprzedaży	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Cena w zł za 1 szt. ( xi)	1,15	1,18	1,16	1,20	1,12	1,19	1,17	1,15	1,14

Źródło : Dane umowne.

Korzystając z procedury estymacji punktowej , należy oszacować

1. przeciętną cenę produktu A za 1 szt. W określonym dniu w całej zbiorowości ( miasto )

2. odchylenie standardowe ceny produktu A w określonym dniu w badanym mieście

Ad 1. Wiedząc ,że estymacja punktowa sprowadza się do znalezienia jednej wartości mogącej służyć do oszacowania nieznanej średniej ceny produktu A w całym mieście zadanie sprowadza się do znalezienia średniej arytmetycznej na podstawie próby ( . Miara ta jest najbardziej użytecznym estymatorem średniej zbiorowości generalnej , gdyż ma własność nieobciążoności i zgodności oraz jest relatywnie bardziej efektywna od innych średnich ( mediany czy dominanty )

, co oznacza ,że w badanym mieście średnia cena jednej sztuki produktu A wynosi 1,16 zl.

Ad.2. Zadanie sprowadza się , do obliczenia odchylenia standardowego ceny produktu na podstawie wyników próby

xi	1,15	1,18	1,16	1,20	1,20	1,19	1,17	1,15	1,14
	-0,01	0,02	0,00	0,04	-0,04	0,03	0,01	-0,01	-0,02
	0.0001	0,0004	0,0000	0,0016	0,0016	0,0009	0,0001	0,0001	0,0004	0.0052

Źródło : Obliczenia własne

zł

Należy zauważyć , że wzór na estymator S różni się od klasycznego wzoru na odchylenie standardowe , które wyznacza się w całej zbiorowości ( lub na podstawie wyników pochodzących z dużej próby ) według formuły :

Odchylenie standardowe ceny produktu A w badanym mieście wynosiło 0,025 zł . Oznacza to , że cena w poszczególnych punktach sprzedaży różniła się od średniego poziomu , przeciętnie rzecz biorąc , o zł.

Przykład 2.

W pewnej firmie w sposób losowy wybrano 15 rozmów telefonicznych, zbadano długość ich trwania oraz ustalono , czy są to rozmowy lokalne czy też zamiejscowe . Poniższa tablica prezentuje zebrane na ten temat informacje :

Kolejny numer rozmowy	Czas trwania ( w min )	Rodzaj rozmów telefonicznej
1	2	miejscowa
2	12	zamiejscowa
3	10	miejscowa
4	3	miejscowa
5	5	zamiejscowa
6	6	miejscowa
7	3	miejscowa
8	5	miejscowa
9	8	miejscowa
10	4	miejscowa
11	5	miejscowa
12	4	miejscowa
13	5	miejscowa
14	4	miejscowa
15	9	zamiejscowa

Należy :

1. Oszacować przeciętny czas trwania wszystkich rozmów telefonicznych w tej firmie

2. Oszacować odchylenie standardowe czasu trwania wszystkich rozmów telefonicznych w tej firmie

3. Oszacować odsetek ( procent ) rozmów zamiejscowych wśród ogółu rozmów telefonicznych przeprowadzonych w tej firmie

4. Wyznaczyć błąd standardowy odsetka rozmów zamiejscowych wśród ogółu rozmów telefonicznych przeprowadzonych w tej firmie

Ad.1. , co oznacza że przeciętny czas trwania wszystkich rozmów telefonicznych w tej firmie wynosi 5,67 min.

Ad.2. , co oznacza , że odchylenie standardowe czasu

trwania wszystkich rozmów telefonicznych w tej firmie wynosi 2,85 min ( o tyle różni się , średnio biorąc , czas trwania poszczególnych rozmów od przeciętnej rozmowy ).

Ad.3. , co oznacza ,że rozmowy zamiejscowe stanowią 20 % ogółu wszystkich rozmów telefonicznych przeprowadzonych w tej firmie.

Ad.4.

Błąd standardowy odsetka rozmów zamiejscowych w tej firmie wynosi 10,3 %.