Rozkład chi – kwadrat

Rozkład chi – kwadrat ) został opracowany przez statystyków A. Abbego ( 1863 ), H. Helmerta ( 1875 ) , K. Pearsona ( 1900

Zakładając , że X₁, X₂ , ..., X_k są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym o parametrach i , zmienna losowa określona w sposób następujący :

( 12 )

ma rozkład z k „ liczbą stopni swobody „

Zmienna losowa o rozkładzie chi- kwadrat przyjmuje wartości dodatnie , a jej rozkład zależy od liczby stopni swobody k . Dla małych wartości k jest to rozkład silnie asymetryczny , w miarę wzrostu k asymetria jest coraz mniejsza. Liczbę stopni swobody k wyznaczamy najczęściej w sposób następujący :

lub

gdzie :

n – liczebność próby

p – liczba szacowanych parametrów z próby

Liczba stopni swobody jest równa liczbie wszystkich parametrów ( która nie musi być równa liczbie wyników obserwacji ) pomniejszonej o liczbę wszystkich ograniczeń narzuconych na te parametry . Ograniczeniem jest każda wielkość , która zostaje obliczona na podstawie tych samych pomiarów

Wartość oczekiwana w rozkładzie wyraża się następującą formułą :

( 13 )

Wariancja w rozkładzie jest wyrażona formułą :

( 14 )

Odchylenie standardowe w rozkładzie to :

( 15 )

Dla uproszczenia zapisów można się posługiwać formułą :

, co oznacza ,że ma rozkład o k stopniach swobody . Rozkład jest rozkładem asymetrycznym, przy czym wraz ze wzrostem k rozkład ten staje się coraz bardziej zbliżony do symetrycznego, a dla k>30 zachodzi zależność :

( 16 )

Oznacza to , że wraz ze wzrostem k ( powyżej 30 ) rozkład przechodzi w rozkład asymptotycznie normalny o tych samych parametrach i .

Rozkład t – Studenta

Jest to ważny rozkład , który jest stosowany głównie do małych próbek . Rozkład t – Studenta ( pseudonim angielskiego statystyka W. Gosseta ) jest rozkładem symetrycznym względem prostej x=0, a jego kształt jest bardzo zbliżony do rozkładu normalnego standaryzowanego ( jest nieco bardziej spłaszczony ).

Jeżeli Z :N(0;1) i są niezależnymi zmiennymi losowymi , to zmienna ma rozkład t- Studenta o k stopniach swobody .

Wartość oczekiwana w rozkładzie t- Studenta ma postać następującą:

dla ( 17 )

Wariancja w rozkładzie t- Studenta ma postać następującą:

dla ( 18 )

Odchylenie standardowe w rozkładzie t- Studenta ma postać następującą :

dla ( 19 )

Dla k >30 zmienna o rozkładzie t- Studenta ma rozkład zbliżony do rozkładu normalnego standaryzowanego [ N : ( 0 , 1 ) ]

Dla różnych wartości k i różnych prawdopodobieństw  stablicowane są wartości takie , dla których spełniona jest zależność dla stopni swobody.

Rozkład f – Snedecora

Jeżeli zmienne i są zmiennymi niezależnymi i mają rozkłady o i stopniach swobody , to zmienna losowa ma rozkład F – Snedecora :

( 20 )

gdzie i są stopniami swobody .

Wartość oczekiwana w rozkładzie F wyraża się następującą formułą :

dla ( 21 )

Wariancja w rozkładzie F wyraża się następującym wzorem :

dla ( 22 )

W zależności od i stablicowano wartości zmiennej losowej , w taki sposób , że dla danych wartości prawdopodobieństw  zależność

Dobór próby i rozkłady z próby