1. Абстрактные автоматы

Определение. Абстрактным автоматом Мили называется преобразователь, представимый пятёркой

S=<Z, W, A, , >,

где Z – входной алфавит {z1, z2, …, zr},

W – выходной алфавит {w1, w2,…, wp},

A – алфавит состояний {a1, a2,…, at},

– функция переходов AxZ А,

 – функция выходов AxZ W.

Если, кроме того, определено начальное состояние автомата a₀ (a₀ – символ из А), то говорят об инициальном автомате Мили.

Семантика: автомат функционирует в дискретном времени. В лю-бой момент времени он находится в некотором состоянии a_i из множест-ва A, и на его вход поступает входной сигнал z_i из множества Z. В зави-симости от состояния и входного сигнала в следующий момент автомат переходит в новое состояние a_j, определяемое функцией перехода, a_j=(a_i, z_i), при этом на его выходе формируется выходной сигнал w=(a_i, z_i) (рис.1.1). В инициальном автомате в начале функционирова-ния автомат находится в состоянии a₀ .

А втомат Мили представляется матрицей переходов и матрицей выходов, описывающими соответствующие функции.

Пример 1. Автомат задан на множествах входов Z={z1, z2, z3}, состояний A={a1, a2, a3, a4, a5, a6} и выходов W={w1, w2}. Его функционирование описывается матрицами переходов и выходов, приведёнными в табл.1.1 и 1.2.

Таблица 1.1

Таблица 1.2

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a1

a2

a3

a4

a5

a6

z1

a3

a5

a6

a6

a1

a5

z1

w1

w1

w2

w1

w2

w1

z2

a1

a6

a4

a4

a4

a1

z2

w1

w1

w1

w1

w1

w1

z3

a5

a1

a3

a2

a5

a3

z3

w1

w1

w2

w2

w2

w1

Автомат Мили может быть также представлен в виде объединённой матрицы. В этом случае каждая клетка матрицы состоит из двух частей, в одной из которых записывается следующее состояние (функция  (ai, z)), во второй части – выход (функция  (ai, z)).

Таблица 1.3
	a1	a2	a3	a4	a5	a6
z1	a3w1	a5w1	a6w2	a6w1	a1w2	a5w1
z2	a1w1	a6w1	a4w1	a4w1	a4w1	a1w1
z3	a5w1	a1w1	a3w2	a2w2	a5w2	a3w1

Объединённая матрица представленного выше автомата показана в табл. 1.3.

Автомат Мили может быть описан в виде графа. Вершинам этого графа сопоставлены состояния, дугам – переходы. При этом на каждой дуге записывается значение входа, определяющего этот переход, и значение выхода на этом переходе. Эта пара вход-выход называется весом дуги. Для рассмотренного автомата граф имеет вид как на рис.1.2

Рис.1.2

Автоматом Мура называют автомат, в котором функция выходов зависит только от состояния, то есть для него функция выходов автомата: : AW.

Пример 2. Автомат Мура задан на тех же множествах, что и автомат в примере 1, а его функционирование описывает табл. 1.4.

В графе автомата Мура дуги взвешиваются только значением соответствующего входа, значение выходов приписываются его вершинам.

Таблица 1.4
	w a1	w1 a2	w2 a3	w1 a4	w2 a5	w1 a6
z1	a3	a5	a6	a6	a1	a5
z2	a1	a6	a4	a4	a4	a1
z3	a5	a1	a3	a2	a5	a3

Для приведённого автомата граф будет иметь вид как на рис.1.3

Рис.1.3

Реакция автомата в состоянии ai на входное слово z* определяется по таблицам переходов и выходов. Для последнего примера реакцией автомата в состоянии a2 на слово z1z2z1 будет слово w2w1w1.