К 43(6) лассы бинарных отношений. Отношение порядка и его свойства.
Под классом бинарных отношений понимается совокупность отношений, обладающих определенными свойствами. Важную роль играет класс отношений порядка.
Определение 1.
Пусть А
– множество,
– отношение. Отношение R
называется полным,
если
.
Определение 2. Отношение называется отношением предпорядка, если оно транзитивно и рефлексивно.
Определение 3. Отношение называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично. А именно, отношение называется:
а) отношением нестрогого порядка, если оно транзитивно, антисимметрично и рефлексивно (примеры: слабое неравенство ≤ на множестве действительных чисел, отношение нестрогого включения множеств);
б) отношением строгого порядка, если оно транзитивно, антисимметрично и иррефлексивно (пример: сильное неравенство < на множестве действительных чисел, отношение строгого включения множеств);
в) отношением полного (линейного) порядка, если оно транзитивно, антисимметрично и полно (примеры: слабое и сильное неравенства ≤ и < на множестве действительных чисел);
г) отношением частичного порядка, если оно транзитивно, антисимметрично и не обладает свойством полноты (примеры: отношение наследования в дереве, отношения включения множеств).
Пример предпорядка, не являющегося порядком: отношение равенства геометрических фигур.
Определение 4. Множество, на котором определено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным. Множество, на котором определено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным.
Определение 5.
Элемент x
множества А
с отношением порядка
называется минимальным, если в А
не существует меньших элементов:
.
Теорема 1. Во всяком конечном непустом частично упорядоченном множестве существует минимальный элемент.
Замечание. Линейно упорядоченное множество содержит один минимальный элемент, а в произвольном конечном частично упорядоченном множестве их может быть несколько.
Теорема 2.
Всякий частичный порядок на конечном
множестве может быть дополнен до
линейного. Формально, пусть А
– конечное множество,
– отношение частичного порядка. Тогда
существует отношение
,
такое, что отношение
является отношением линейного порядка.
Для графического изображения частично упорядоченных множеств используются диаграммы Хассе.
Определение 6.
Диаграмма Хассе – графическое
представление
частично упорядоченного множества А с
отношением
порядка
,
в котором с каждой точкой из А сопоставляется
точка плоскости таким образом, что
меньшая точка всегда располагается
ниже большей точки. Две точки x
и y
в диаграмме
Хассе
соединены тогда и только тогда, когда 
,
и не существует такой точки z,
что 
.
Пример диаграммы Хассе некоторого отношения порядка на множестве {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}(рис1):
Рис1 Рис2
Диаграмма Хассе линейно упорядоченного множества – прямая линия. Диаграмма Хассе естественного отношения порядка на множестве {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}(рис2):
