1 3(1) . Линейное программирование. Симплекс-метод. Привести числовой пример решения задачи линейного программирования симплекс-методом с использованием симплекс-таблиц.

Пусть дана задача ЛП в канонической форме: <c,x>® max, A₁+A₂+...+A_n=A₀, x³0. Пусть известно некоторое опор. решение x^*=( x^*₁ , x^*₂ ,..., x^*_n ) и базис этого решения:B=(A_i1,A_i2,…,A_im).

Будем считать, что базисная матрица является единичной матрицей (B=E), т.е. система ограничений задачи имеет форму приведенной системы, а вектор A₀ не имеет отрицательных координат: a_i ³ 0, (i=1,2,...,m). Очевидно, что ранг базисной матрицы B равен m - количеству ограничений-уравнений (m единичных векторов A_i1,A_i2,…,A_im составляют линейно-независимую систему). Работу по симплекс-методу рассмотрим по шагам.

шаг 1.  Разложить векторы A₀ ,A₁ ,A₂ ,...A_n по базису, то есть, найти все числа x_kj (j=0,1,2,...,n; k=1,2,...,m ) такие, что: A_j=x_1j + x_2j +...+ x_mj . Учитывая тот факт, что B=(A_i1,A_i2,…,A_im) =E=B^-1, коэффициенты разложения определяются непосредственно параметрами задачи: x_kj=a_kj , x_k0=a_k (j=1,2,...,n; k=1,2,...,m ). При этом, координаты опорного решения x^*=( x^*₁ , x^*₂ ,..., x^*_n ) опредедяются следующим образом: =a_k=x_k0 ,(k=1,2,...,m ); =0, (j=1,2,...,n; jÏ{i₁,i₂,...,i_m}) .

шаг 2.  Найти оценки всех свободных векторов A_j, jÏ{i₁,i₂,...,i_m} и вычислить значение ЦФ:

D_j = .

Z₀= .

Результаты вычислений занести в симплекс-таблицу.

Баз.	Сбаз	A0	c1	c2		cs		cj		cn
			A1	A2		As		Aj		An
Ai1	Ci1	x10	x11	x12		x1s		x1j		x1n
Ai2	Ci2	x20	x21	x22		x2s		x2j		x2n
Ai3	Ci3	xr0	xr1	xr2		xrs		xrj		xrn
Aik	Cik	xk0	xk1	xk2		xks		xkj		xkn
Aim	Cim	xm0	xm1	xm2		xms		xmj		xmn
		Z0	D1	D2		Ds		Dj		Dn

шаг 3. Если все оценки D_j ³ 0 (j=1,2,...,n), процесс закончен. Очередное опорное решение - оптимальное решение задачи. Координаты этого решения   x^*=(x^*₁ , x^*₂ ,..., x^*_n)  однозначно определяются коэффициентами разложения вектора A₀ : =a_k=x_k0 ,(k=1,2,...,m); = 0, (j=1,2,...,n; jÏ{i₁,i₂,...,i_m}).

шаг 4.  Последовательно просматриваются все свободные векторы, имеющие отрицательные оценки. Если обнаруживается такой вектор A_j  (D_j < 0), для которого все  x_kj £ 0, (j=1,2,...,n), вычисления прекращаются: задача не имеет решения, так как ее целевая функция не ограничена сверху на допустимом множестве. В против. случае выполняется следующий шаг.

шаг 5.  Выбирается любой вектор, имеющий отрицательную оценку (обычно предпочтение отдается вектору с максимальной по абсолютной величине отрицательной оценкой - это, как правило, сокращает общее количество вычислительных операций). Пусть, для определенности, выбран вектор A_s  (D_s < 0). Этот вектор будет вводиться в базис.

ш

3(2)

аг 6.  Определяется вектор, который будет выводиться из базиса. Для этого просматриваются все элементы  s-го  столбца симплекс-таблицы и для всех k (k=1,2,...,m ), для которых имеет место  x_ks>0  , вычисляется отношение  x_k0/x_ks. Из полученных отношений выбирается минимальное. Пусть

. Тогда из базиса будет выводиться вектор . Выполняется следующий шаг.

шаг 7.  Для нового базиса  В_нов=( ),

с использованием основных формул пересчитываются координаты разложения всех векторов A_j (j=0,1,2,...,n):

Далее, вычисляется значение целевой функции на новом опорном решении:

Z_нов= Z_ст - D_s.

В этом выражении   Z_нов  и   Z_ст - соответственно, новое и старое значения целевой функции. Наконец, вычисляются оценки свободных векторов в новом базисе. Здесь используется выражение:

.

При ручном счете для вычислений по приведенным выше формулам используется правило “крест-накрест”. Результаты вычислений заносятся в новую симплекс-таблицу и выполняется  шаг 3.

П

			5	4	-4	-9
Баз	Cбаз	A0	A1	A 2	A 3	A 4
A 3	-4	8/3	2/3	1/3	1	0
A4	-9	10/3 5	1/3 1/2	2/3 1	0 0	1 3/2
Tабл.1		-122/ 3	-32/ 3	-34/ 3	0	0

			5	4	-4	-9
Баз	Cбаз	A0	A1	A 2	A 3	A 4
A 3	-4	1 2	1/ 2 1	0 0	1 2	-1/ 2 -1
A2	4	5	1/ 2	1	0	3/ 2
Табл.2		16	-5	0	0	17

ример: 5X₁+4 X₂-4X₃-9X₄ max, (2/3)X₁+(1/3)X₂+X₃=8/3, (1/3)X₁+(2/3)X₂+X₄=10/3, X_j³0, j=1¸4

			5	4	-4	-9
Баз	Cбаз	A0	A1	A 2	A 3	A 4
A 1	5	2	1	0	2	-1
A2	4	4	0	1	-1	2
Табл.3		26	0	0	10	12

x^*=(2,4,0,0); Z_опт.= 26.