1Нф (Первая Нормальная Форма)

Понятие первой нормальной формы уже обсуждалось в главе 2. Первая нормальная форма (1НФ) – это обычное отношение. Согласно нашему определению отношений, любое отношение автоматически уже находится в 1НФ. Напомним кратко свойства отношений (это и будут свойства 1НФ):

• 1.В отношении нет одинаковых кортежей.

• 2.Кортежи не упорядочены.

• 3.Атрибуты не упорядочены и различаются по наименованию.

• 4.Все значения атрибутов атомарны.

2Нф (Вторая Нормальная Форма)

Определение 3. Отношение находится во второй нормальной форме (2НФ) тогда и только тогда, когда отношение находится в 1НФ и нет неключевых атрибутов, зависящих от части сложного ключа. (Неключевой атрибут - это атрибут, не входящий в состав никакого потенциального ключа).

Замечание. Если потенциальный ключ отношения является простым, то отношение автоматически находится в 2НФ. Для того, чтобы устранить зависимость атрибутов от части сложного ключа, нужно произвести декомпозицию отношения на несколько отношений. При этом те атрибуты, которые зависят от части сложного ключа, выносятся в отдельное отношение.

3Нф (Третья Нормальная Форма)

Определение 4. Атрибуты называются взаимно независимыми, если ни один из них не является функционально зависимым от другого.

Определение 5. Отношение находится в третьей нормальной форме (3НФ) тогда и только тогда, когда отношение находится в 2НФ и все неключевые атрибуты взаимно независимы.

Для того, чтобы устранить зависимость неключевых атрибутов, нужно произвести декомпозицию отношения на несколько отношений. При этом те неключевые атрибуты, которые являются зависимыми, выносятся в отдельное отношение.

Алгоритм нормализации (приведение к 3нф)

Итак, алгоритм нормализации (т.е. алгоритм приведения отношений к 3НФ) описывается следующим образом.

Шаг 1 (Приведение к 1НФ). На первом шаге задается одно или несколько отношений, отображающих понятия предметной области. По модели предметной области (не по внешнему виду полученных отношений!) выписываются обнаруженные функциональные зависимости. Все отношения автоматически находятся в 1НФ.

Шаг 2 (Приведение к 2НФ). Если в некоторых отношениях обнаружена зависимость атрибутов от части сложного ключа, то проводим декомпозицию этих отношений на несколько отношений следующим образом: те атрибуты, которые зависят от части сложного ключа выносятся в отдельное отношение вместе с этой частью ключа. В исходном отношении остаются все ключевые атрибуты: Исходное отношение: . Ключ: - сложный. Функциональные зависимости:

- зависимость всех атрибутов от ключа отношения.

- зависимость некоторых атрибутов от части сложного ключа.

Декомпозированные отношения: - остаток от исходного отношения. Ключ .

- атрибуты, вынесенные из исходного отношения вместе с частью сложного ключа. Ключ .

Шаг 3 (Приведение к 3НФ). Если в некоторых отношениях обнаружена зависимость некоторых неключевых атрибутов других неключевых атрибутов, то проводим декомпозицию этих отношений следующим образом: те неключевые атрибуты, которые зависят других неключевых атрибутов выносятся в отдельное отношение. В новом отношении ключом становится детерминант функциональной зависимости:

Исходное отношение: . Ключ: .

Функциональные зависимости: - зависимость всех атрибутов от ключа отношения.

- зависимость некоторых неключевых атрибутов других неключевых атрибутов.

Декомпозированные отношения: - остаток от исходного отношения. Ключ .

- атрибуты, вынесенные из исходного отношения вместе с детерминантом функциональной зависимости. Ключ .

Таблица находится в третьей нормальной форме Бойса-Кодда (НФБК) (усиленная третья нормальная форма) тогда и только тогда, когда любая функциональная зависимость между ее атрибутами сводится к полной функциональной зависимости от возможного первичного ключа (т.е. все детерминанты отношения являются потенциальными первичными ключами).

Пример: Экзамен(№ Зач. Книжки, Дисциплина, День сдачи, Время сдачи, Преподаватель, Оценка).

PK1= № Зач. Книжки, Дисциплина. // Потенциальные первичные ключи

PK2= День сдачи, Время сдачи, Преподаватель.

PK3=№ Зач. Книжки, День сдачи.

Дисциплина(День сдачи, Преподаватель).

Расписание(День сдачи, Преподаватель, Дисциплина).

М

43(1)

етода решения линейных систем алгебраических уравнений. Метод Гаусса и его модификации.

Метод исключения Гаусса относится к числу точных методов решения систем линейных уравнений (метод решения задачи относят к классу точных, если в предположении отсутствия округлений он дает точное решение задачи после конечного числа арифметических и логических операций).

Схема единственного деления

Пусть дана система уравнений

,

(1)

где – матрица размерности , , .

В предположении, что , первое уравнение системы

,

(2)

делим на коэффициент , в результате получаем уравнение

.

Затем из каждого из остальных уравнений вычитается первое уравнение, умноженное на соответствующий коэффициент . В результате эти уравнения преобразуются к виду

.

Первое неизвестное оказалось исключенным из всех уравнений, кроме первого. Далее в предположении, что , делим второе уравнение на коэффициент и исключаем неизвестное из всех уравнений, начиная со второго, и т.д. Продолжая процесс исключения неизвестных и считая, что возможны все шаги до m-го включительно, получим

(3)

где .

Предположим, что шаг номера m есть последний возможный шаг преобразований. Возможны два случая: m=n и m<n. Если m=n, то это означает, что после преобразований мы получим систему вида

(4)

с треугольной матрицей, эквивалентной исходной системе. Из системы (4) значения для неизвестных находим последовательно от к по формулам

(5)

Процесс нахождения коэффициентов треугольной системы (4) называется прямым ходом, а процесс получения ее решения по формулам (5) – обратным ходом метода Гаусса.

П

43(2)

усть m<n и m-е уравнение системы и следующие за ним приведены к виду (3). Так как шаг m мы считаем последним возможным, то это значит, что в уравнениях (3) нельзя выделить ведущий элемент, все равны нулю и уравнения имеют вид

Если свободные члены все равны нулю, то получим только одно первое уравнение. Объединив первые уравнения всех шагов до m-го включительно, мы получим систему вида

из которой можем найти выражения неизвестных через неизвестные и свободные члены. В этом случае система (1) имеет бесчисленное множество решений.

Если m<n и хотя бы одно , то система (1) несовместна.

Реализация прямого хода метода Гаусса требует арифметических операций, а обратного – арифметических операций.

Примечание1 Подсчет числа выполняемых арифметических действий.

Лемма1. Выполняются равенства

∆: Первое равенство, выражающее сумму арифметической прогрессии, очевидно. Докажем с помощью метода математической индукции. Второе равенство выполняется при n=1. Допустим, что оно верно при некотором натуральном n=m. Тогда

.

Следовательно, по индукции второе равенство верно для любого натурального n. □

Подсчитаем количество выполняемых арифметических действий при решении системы порядка n. При исключении неизвестной осуществляются следующие действия:

а) производится всего n делений второго и следующих коэффициентов первого уравнения и его правой части на коэффициент при ;

б) расходуется по n умножений и n вычитаний при исключении из второго и последующих уравнений, число которых равно n-1.

Таким образом, общее число арифметических действий, затрачиваемых на исключение , имеет величину

.

(5.1)

При исключении производятся совершенно аналогичные вычисления, как и при исключении . Разница состоит лишь в том, что осуществляются действия над строками матрицы, размеры которой в каждом направлении на единицу меньше. Поэтому число выполняемых арифметических действий при исключении получается из выражения (5.1) заменой n на n–1:

.

Вообще, при исключении неизвестной выполняются арифметических действий:

.

43(3)

Всего в прямом ходе затрачивается число арифметических операций, равное величине

.

Отсюда, полагая k = n – i+1 и применяя лемму 1, находим явное выражение для :

.

(5.2)

В обратном ходе число умножений и вычитаний, вместе взятых, равно удвоенному числу элементов квадратной матрицы порядка n, расположенных под главной диагональю, и, как показывают подсчеты, составляет величину

.

(5.3)

Итак, число арифметических действий, выполняемых при решении системы линейных алгебраических уравнений порядка n методом Гаусса, в общем случае равно

.

(5.4)

Примечание 2 Другая реализация схемы единственного деления

Исключение происходит в результате следующих операций:

а) деление i-го уравнения на ;

б) вычитания получившегося после такого деления i-го уравнения, умноженного на , из уравнений с номерами k = i + 1,…, n. Первая операция равносильна умножению системы уравнений слева на диагональную матрицу

;

вторая операция равносильна умножению слева на матрицу

.

Таким образом, система (3), получаемая в результате этих преобразований, запишется в виде:

, где .

Произведение левых (правых) треугольных матриц является левой (правой) треугольной матрицей, поэтому матрица С левая треугольная.

Из формулы для элементов обратной матрицы

следует, что матрица, обратная к левой (правой) треугольной, является левой (правой) треугольной. Следовательно, матрица левая треугольная.

Введем обозначение . Согласно построению все и матрица D правая треугольная. Отсюда получаем представление матрицы A в виде произведения левой и правой треугольных матриц:

.

43(4)

Равенство вместе с условием образует систему уравнений относительно элементов треугольных матриц B и D:

.

Поскольку при i < j и при k < j, эта система может быть записана в виде:

(6)

или, что то же самое,

при

при .

Воспользовавшись условием, что все , получаем систему рекуррентных соотношений для определения элементов и :

при	(7)
при .

Вычисления проводятся последовательно для совокупностей . Здесь и далее в случае, когда верхний предел суммирования меньше нижнего, считается, что вся сумма равна нулю.

Таким образом, вместо последовательных преобразований системы (2) к виду (3) можно непосредственно произвести вычисление матриц B и D с помощью формул (7). Эти вычисления можно осуществить, только если все элементы окажутся отличными от нуля. Пусть – матрицы главных миноров k-го порядка матриц A, B, D. Согласно (6) . Поскольку , то . Следовательно,

.

Итак, для осуществимости вычислений по формулам (7) необходимо и достаточно выполнение условий

.

Возможен вариант, когда все , но среди величин есть очень малые и при делении на них будут получаться большие числа с большими абсолютными погрешностями. В результате этого решение сильно исказится.

Введем обозначение . Поскольку и , то справедливы равенства , . Таким образом, после разложения матрицы исходной системы на произведение левой и правой треугольных матриц решение исходной системы сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами; это потребует арифметических операций.

Последовательность операций по разложению матрицы A на произведение треугольных матриц и по определению вектора часто удобно объединить. Уравнения

системы можно записать в виде (6)

.

С

43(5)

ледовательно, значения могут вычисляться одновременно с остальными значениями по формулам (7).

Метод Гаусса с выбором главного элемента

Его применяют для того, чтобы избежать катастрофического влияния вычислительной погрешности. Пусть по ходу исключения неизвестных получена система уравнений

,

.

Найдем такое, что и переобозначим и ; далее произведем исключение неизвестной из всех уравнений, начиная с (k + 2)-го. Такое переобозначение приводит к изменению порядка исключения неизвестных и во многих случаях уменьшает чувствительность решения к погрешностям округления при вычислениях.

Примечание 3 Число выполняемых арифметических действий над правыми частями уравнений в прямом ходе метода Гаусса. При исключении правая часть первого уравнения делится на коэффициент при , а при нахождении правых частей остальных уравнений производится по одному умножению и одному вычитанию. Таким образом, при исключении всего над правыми частями выполняется арифметических действий:

.

Соответственно, с правыми частями уравнений при исключении осуществляется арифметических действий:

.

Следовательно, в прямом ходе число выполняемых арифметических действий над правыми частями уравнений имеет величину

.

(7.1)

Примечание 4 Решение нескольких систем, отличающихся правыми частями

Часто требуется решить несколько систем уравнений с одной и той же матрицей A. Удобно поступить следующим образом: введя обозначения

произведем вычисления по формулам (7), причем элементы вычислим при . В результате будут получены p систем уравнений с треугольной матрицей, соответствующих истинной задаче

.

Решаем эти системы каждую в отдельности. Обратный ход для нахождения решения каждой системы проводится последовательно.

Число арифметических действий при решении p указанных систем согласно (5.3), (5.4) и (7.1) составляет величину

где Q – число действий при полном решении одной системы, – число действий в прямом ходе над одним столбцом правых частей, – число действий в обратном ходе при нахождении одного решения.