Сумма двух последних слагаемых дает

_n

-  (_0j r_j) (F_вj ⁽⁰⁾ + F_иj⁽⁰⁾) .

^j=i

В самом деле:

_{n n n-1 n n}

-  (_j)  (_k) +  (_j)  (_k) = -  (_j) (_k=j).

^{j=i k=j j=i k=j+1 j=i}

j = i k = i,i+1,…,n j = i k = i+1,i+2,…,n

j = i +1 k = i+1,…,n j = i+1 k = i+2,…,n

…

j = n -1 k = n-1,n j = n-1 k = n

j = n k = n

После вычитания

j = i k = i= j

j = i +1 k = i+1 = j

…

j = n -1 k = n-1 = j

j = n k = n = j.

С учетом этого выражение для I (0) примет вид:

_{n n n}

_i ⁽⁰⁾ =-  (M_вj ⁽⁰⁾ + M_иj⁽⁰⁾ ) -  (_0j (v_j (1-_j)q_j + l_j))  (F_вk ⁽⁰⁾ + F_иk⁽⁰⁾) -

^{j=i j=i k=j}

_n

 (_0j r_j) (F_вj ⁽⁰⁾ + F_иj⁽⁰⁾).

^j=i

i = 1,2,…,n.

Выражение для Mиj(0) имеет вид:

M_иj⁽⁰⁾ = - (I_j ^`_j )⁽⁰⁾ - (_j⁽⁰⁾) (I_j _j )⁽⁰⁾.

В последнем соотношении обозначено (I_j_j)⁽⁰⁾ – вектор момента количества движения звена j в СК₀. Его можно представить еще и так:

(I_j _j )⁽⁰⁾ = _0j (I_j _j0 _j⁽⁰⁾ ) = (_0j I_j _j0 )_j⁽⁰⁾ = I_j⁽⁰⁾ _j⁽⁰⁾,

где I_j⁽⁰⁾ = _0j I_j _j0 - тензор инерции звена j в системе коодринат, оси которой параллельны осям СК₀, а начало совмещено с центром масс звена j. Аналогично

(I_j `<sub>j</sub> )<sup>(0)</sup> = I<sub>j</sub><sup>(0)</sup> <sup>`</sup>_j⁽⁰⁾.

Справедливость выражения

I_j⁽⁰⁾ = _0j I_j _j0

Следует из того, что

I⁽⁰⁾ _j = _{ i} (r ⁽⁰⁾_{ i}) m _i ^T(r ⁽⁰⁾_{ i}) = _{ i} (_0j r _{ i}) m _i ^T(_0j r _{ i}) =

_{ i} _0j (r _{ i}) _j0 m _i _0j ^T(r _{ i}) _j0 = _0j {_{ i} (r _{ i}) m _i ^T(r _{ i})} _j0 = _0j I_j _j0 .

Диагональные элементы матрицы I_i - моменты инерции звена i относительно осей СК_iс; недиагональные элементы – смешанные моменты инерции.

Подставив соотношение для M_иj⁽⁰⁾ в формулу для расчета _i ⁽⁰⁾, получим:

_n

_i ⁽⁰⁾ =  (I_j⁽⁰⁾ ^`_j⁽⁰⁾ + (_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ _j⁽⁰⁾ - M_вj ⁽⁰⁾ ) +

^j=i

_{n n}

 (_0j (v_j (1-_j)q_j + l_j)  (m_k V^`_k ⁽⁰⁾ - F_вk ⁽⁰⁾) +

^{j =i k=j}

_n

 (_0j r_j) (m_j V^`_j ⁽⁰⁾ - F_вj ⁽⁰⁾ ),

^j=i

i = 1,2,…,n.

Последнее выражение можно преобразовать. Рассмотрим отдельно второе и третье слагаемые в этом выражении. Во втором слагаемом переменим обозначения (j<->k) для индексов суммирования, а затем изменим порядок суммирования:

_{n n n}

 (_0k (v_k (1-_k)q_k + l_k)  (m_j V^{`</sup><sub>j</sub> <sup>(0)</sup> - F<sub>вj</sub> <sup>(0)</sup>) +  (<sub>0j</sub> r<sub>j</sub>) (m<sub>j</sub> V<sup>`}_j ⁽⁰⁾ - F_вj ⁽⁰⁾ ) =

^{k=i j=k j =i}

k = i j = i, i+1,…,n

k = i+1 j = i+1,…,n -> j = i,…,n; k = i,…,j.

…

k = n j = n

_{n j n}

  (_0k (v_k (1-_k)q_k + l_k) (m_j V^{`</sup><sub>j</sub> <sup>(0)</sup> - F<sub>вj</sub> <sup>(0)</sup>) +  (<sub>0j</sub> r<sub>j</sub>) (m<sub>j</sub> V<sup>`}_j ⁽⁰⁾ - F_вj ⁽⁰⁾ ) =

^{j=i k=i j =i}

_{n j j}

  ( _0k (v_k (1-_k)q_k + l_k) + _0j r_j ) (m_j V^{`</sup><sub>j</sub> <sup>(0)</sup> - F<sub>вj</sub> <sup>(0)</sup>) =  (R<sub>ji</sub><sup>(0)</sup>)(m<sub>j</sub> V<sup>`}_j ⁽⁰⁾ - F_вj ⁽⁰⁾).

^{j =i k=i j =i}

Здесь мы воспользовались тем, что

_j

R_ji⁽⁰⁾ = _0jt_j +  _0k (v_k (1-_k)q_k + l_k)

^k=i

и тем, что t_j = r_j.

С учетом выполненных преобразований выражение для расчета моментов реакции связей примет вид:

_n

_i ⁽⁰⁾ =  (I_j⁽⁰⁾ ^{`</sup><sub>j</sub><sup>(0)</sup> + (<sub>j</sub><sup>(0)</sup>) I<sub>j</sub><sup>(0)</sup> <sub>j</sub><sup>(0)</sup> - M<sub>вj</sub> <sup>(0)</sup> + (R<sub>ji</sub><sup>(0)</sup>)(m<sub>j</sub> V<sup>`}_j ⁽⁰⁾ - F_вj ⁽⁰⁾)).

^j=i

i = 1,2,…,n.

ДРУГОЙ ВАРИАНТ ВЫКЛАДОК (лекции 2011).

/*

Рассмотрим участок кинематической цепи, начиная от звена i. Согласно принципу Даламбера этот участок кинемсатической цепт находтся в равновесии под действием всех внешних сил и всех сил инерции, действующих на звенья от i до n и сил реакции связей действующих на звено i, что эквивалентно записи

_{n n}

_i ⁽⁰⁾ +  (M_иj ⁽⁰⁾ + M_вj ⁽⁰⁾ ) + (R_ji⁽⁰⁾)( F_{иj +} F_вj ⁽⁰⁾) = 0,

^{j=i j=i}

где

_j

R_ji⁽⁰⁾ = _0jt_j +  _0k (v_k (1-_k)q_k + l_k)

^k=i

Учитывая¸что

M_иj⁽⁰⁾ = - I_j ⁽⁰⁾ ^`_j ⁽⁰⁾ - (_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ _j⁽⁰⁾ ,

F_иj⁽⁰⁾ = - m_j V^{` (0)}_j

получим

_n

_i ⁽⁰⁾ =  (I_j⁽⁰⁾ ^{`</sup><sub>j</sub><sup>(0)</sup> + (<sub>j</sub><sup>(0)</sup>) I<sub>j</sub><sup>(0)</sup> <sub>j</sub><sup>(0)</sup> - M<sub>вj</sub> <sup>(0)</sup> + (R<sub>ji</sub><sup>(0)</sup>)(m<sub>j</sub> V<sup>`}_j ⁽⁰⁾ - F_вj ⁽⁰⁾)).

^j=i

*/

Геометрический смысл векторов R_ji⁽⁰⁾ был рассмотрен выше.

Последние выражения совместно с выражениями для расчета _j⁽⁰⁾, ^`_j⁽⁰⁾ позволяют определить моменты, действующие на звенья ИМ при его движении. Можно видеть, что к звену i приложены все внешние моменты, действующие на звенья с номерами от i до n, а также моменты сил инерции, обусловленные движением всех звеньев ИМ. На первое звено ИМ действуют все внешние моменты и моменты сил инерции всех звеньев. Момент реакции со стороны основания ИМ (действует на первое звено) равен ₁⁽⁰⁾. ИМ воздействует на основание с моментом (-₁⁽⁰⁾).