3.12.2.2 Минимизация пф с помощью карт Карно
На рисунке 3.5 показан пример карты Карно для ПФ четырех переменных (n=4).
Рисунок 3.5
Каждая клетка в картах Карно так же, как и в диаграммах Вейча соответствует определенному набору переменных. Соседние клетки соответствуют наборам, отличающимся значением одной из переменных. Каждая строка и столбец обозначаются значением конкретной переменной или комбинацией (произведением) переменных в прямой или инверсной форме.
Клетки, помеченные переменными в прямой форме, соответствуют наборам, где эти переменные принимают единичные значения, а клетки, обозначенные переменными в инверсной форме – наборам, где эти переменные равны нулям.
Карты Карно удобно использовать, если ПФ задана в виде булевого выражения в СДНФ.
Например,
(3.14)
Правила минимизации с помощью карт Карно в основном аналогичны правилам, изложенным при рассмотрении диаграмм Вейча. Отличие состоит в заполнении карты Карно единицами. Если диаграмма Вейча заполняется единицами в соответствии с номерами наборов, на которых исходная ПФ принимает единичное значение, то в карте Карно единицы ставят в клетки, лежащие на пересечении строк и столбцов карты, помеченных комбинациями переменных, которые при их перемножении дают запись соответствующей конституенты единицы (конъюнкции) в булевом выражении минимизируемой функции (3.14). На рисунке 3.5 показан пример заполнения карты Карно по выражению (3.14), содержащему шесть конституент единиц.
Булево выражение минимизированной ПФ имеет вид
.(3.15)
Другие примеры использования диаграмм Вейча и карт Карно показаны в [3, 18].
4. Логические элементы
Для аппаратной реализации булевых выражений используется некоторый набор логических элементов, выпускаемых в виде интегральных микросхем (ИМС). Существуют специализированные ИМС, разработанные методами интегральной технологии специально для получения требуемой логической зависимости. Специализированные ИМС не требуют никаких паяных межсоединений и обладают высокой надежностью. Однако разработка подобных микросхем экономически оправдана лишь при большом объеме выпуска. Примером может служить массовый выпуск специализированных БИС для электронных часов, микрокалькуляторов и т.д.
Помимо специализированных ИМС имеется универсальный набор логических элементов в виде ИМС, обеспечивающий реализацию любых логических функций. К этому набору можно отнести: инвертор; конъюнктор; дизъюнктор; повторитель; И-НЕ; ИЛИ-НЕ; исключающее ИЛИ; сложение по модулю два (нечетность); сложение по модулю два с отрицанием (четность); эквивалентность; неэквивалентность; И-ИЛИ-НЕ; запрет и др.
4.1 Инвертор (логический элемент не)
Инвертор реализует логическую функцию
.(4.1)
Ниже показаны его обозначение на электрических схемах (рисунок 4.1,а) и принципиальная схема (рисунок 4.1,б).
А Б
Рис. 4.1
4.2 Конъюнктор (логический элемент и)
Конъюнктор реализует логическую функцию
.(4.2)
Ниже показаны его обозначение на электрических схемах (рисунок 4.2,а), принципиальная схема (рисунок 4.2,б) и таблица истинности (таблица 4.1).
А Б
Рисунок 4.2
Таблица 4.1
№ набора |
B |
A |
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
3 |
1 |
1 |
1 |
Термин “логический” обычно применяют по отношению к процедуре принятия решения. В таком случае можно сказать, что логический элемент – это такая схема, которая “основываясь” на входных сигналах, “может решать”, что ей ответить на выходе - “да” или “нет”. Схема конъюнктора на рисунке 4.2,б отвечает “да” (на выходе появляется высокий уровень напряжения) только в том случае, когда на оба её входа поданы сигналы “да” (оба входных напряжения имеют высокий уровень).
Рисунок 4.3
На рисунке 4.3 показана схема исследования логического элемента И в лабораторных условиях.
Входы логического элемента подключены к ключам SA1 и SA2. Индикатором выхода служит светодиод. Если на входах А и В возникают сигналы НИЗКОГО логического уровня (земля), то светодиод не излучает. Эту ситуацию отражает первая строка таблицы 4.2.
Таблица 4.2
|
Входы |
Выход |
||||
|
B |
A |
F |
|||
|
Уровень напряжения |
Двоичный Сигнал |
Уровень напряжения |
Двоичный сигнал |
Излучение |
Двоичный сигнал |
Строка 1 |
Низкий |
0 |
Низкий |
0 |
Нет |
0 |
Строка 2 |
Низкий |
0 |
Высокий |
1 |
Нет |
0 |
Строка 3 |
Низкий |
1 |
Низкий |
0 |
Нет |
0 |
Строка 4 |
Высокий |
1 |
Высокий |
1 |
Есть |
1 |
Помимо значений уровней напряжений и отметки наличия излучения входные и выходные сигналы в таблице 4.2 обозначены двоичными цифрами: 0 и 1. Согласно строке 1, если на оба входа поданы двоичные нули, то на выходе логического элемента также возникает двоичный нуль. Двоичная единица на выходе элемента И появляется только в том случае, когда на оба входа А и В поданы двоичные единицы.
Двоичной единице, или напряжению ВЫСОКОГО уровня, в точках А, В или F соответствует потенциал +5В относительно земли. Двоичный нуль, или напряжение НИЗКОГО уровня, в точках А, В или F соответствует потенциалу земли (точнее, близко к потенциалу земли, т.е. к нулю). Мы применяем здесь так называемую “положительную логику”, поскольку для получения двоичной единицы используется положительное напряжение +5В. При работе с цифровыми электронными устройствами мы чаще всего будем иметь дело с “положительной логикой”.