Билет 7. Гармонические функции и их свойства. Принцип максимума.

Аналитическая функция бесконечно дифференцируема (Б9). Из Коши-Римана u’’xx = v’’xy = v’’yx = -u’’yy. Оператор c = d^2/dx^2 + d^2/dy^2 – оператор Лапласа. Функция дважды непрерывно дифференцируемая и удоволетворяющая cu = 0 называется гармонической. Если функция аналитическая, то Ref(z) Imf(z) гармонические. Построение аналитической функции: v(x,y) = $<x0, y0 x, y> -u’ydx + u’xdy. Интегрирование не зависит от пути. По любому замкнутому контуру будет 0 ($<Г> = $$<DГ>cudxdy = 0). Дифференциал функции – выражение под интегралом. cv = 0. Функция f(z) = u(x,y) + iv(x,y) – аналитична в области, функции определяются с точностью до константы. Раз мы можем построить аналитическую функцию, а она бесконечно дифференцируема, в силу аддитивности получаем, что гармоническая функция бесконечно дифференцируема.

Т Если функция гармонична в области и не постоянна, то она не достигает своих точных верхних и нижних граней (принцип максима гармонической функции). Док-во: применяем формулу среднего значения, повторяем принцип максиму аналитической функции.

Билет 8. Разложение гармонических функций в ряды. Ряд Фурье для гармонической функции.

Рассмотрим гармоническую функцию u(x, y) в круге радиуса R. Существует аналитическая функция f(z) такая, что её вещественная часть равна u, так как круг односвязная область. f(z) = Add(n = 0, inf) kn(z-z0)^n, |z – z0| < R. Пусть z = z0 + pe^ih, 0 < p < R, kn = an + ibn. Подставим. Введем обозначение f(z0 + pe^ih) = u(p, h) + iv(p, h). Тогда u(p, h) = Add(n=0, inf)(an(p^n)cos(nh) – bn(p^n)sin(nh)), v(p, h) = Add(n=0, inf)(bnp^ncosnh + anp^nsinnh). Два тригонометрических ряда Add(n=0,inf)(ancosnh + bnsinnh) и Add(n=0, inf)(cncosnh + dnsinnh) называются сопряженными, если an = dn, bn = -cn. ТЕ комплексно сопряженным функциям соответствуют сопряженные гармонические ряды. Рассмотрим коэффициенты в разложении f(z). kn = (1/(2пi))$<|w – z0|=r>f(w)dw/(w-z0)^(n+1), заменяем w = z0 + re^(ih). h (~[0, 2п]. Получим, что kn = (1/r^n)(1/2п)$<0, 2п>f(z0 + re^ih)e^(-inh)dh. Используя св-во аналитичной функции (интеграл по контуру 0) получаем, что (1/r^n)(1/2п)$<0, 2п>f(z0 + re^(ih))e^(ih)dh = 0. Записываем kn + 0, kn – 0. выделяем действительную и мнимую части и выражаем u(p, h) = (1/2п)$<0, 2п>u(r, h)dh + Add(n=1, inf)((p/r)^n * (1/п) $<0, 2п>[u(r, h)cos(nh)dhcos(nh)] + (p/r)^n(1/п)$<0, 2п>[u(r, h)sin(nh)dhsin(nh)] и полная аналогия для v. Получили, что соответствующие коэффициенты – коэффициенты ряда Фурье.

Билет 9. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Теорема Лиувилля.

Г – жорданова, кусочно гладкая кривая, не обязательно гладкая, функция непрерывна. F(z) = (1/(2пi))$<Г>f(w)dw/(w – z), z !(~ Г – интеграл типа Коши. Т Интеграл типа коши – аналитическая функция везде, кроме самой кривой. При этом функция F(z) имеет производную любого порядка, равную F(n)(z) = (n!/2пi) $<Г>f(w)dw/(w – z)^(n+1). Док-во методом индукции. Для 1: выберем произвольную точку не из кривой. Тогда у неё есть дельта окрестность не пересекающаяся с кривой. p – расстояние от этой окрестности до кривой. Будем рассматривать приращения аргумента меньше дельта по модулю. Распишем разность [F(z + дz) – F(z)]/дz – 1/(2пi)$<Г>f(w)dw/(w-z)^2 и получим (1/(2пi))$<Г>f(w)дzdw/[(w – z)^2(w – (z + дz))]. Получим ограничение на эту разность через максимум M = max|f(z)|, |w – z| >= p, и длину кривой l. Ограничение: (1/2п)Ml/p^3*|дz| - получаем производную. Предполагаем при n, доказываем для n+1. Расписываем разность: F(n)(z + дz) – F(n)(z)/дz – [(n+1)!/2пi]$<Г>f(w)dw/(w – z)^(n+2). Используем выражение из предположения индукции. Путем преобразований получаем, что разность равна (n!/2пi)$<Г>f(w)A(z, w, дz)dw/[(w – z)^(n+2)дz[w – (z + дz)]^(n+1)]. Где A(z, w, дz) = (w-z)[(w-z)^(n+1) – [(w – z) – дz]^(n+1)] – (n+1)дz[(w – z) – дz]^(n+1). Он преобразуется к виду (дz^2)B(z, w, дz), где B(z, w, дz) – многочлен фиксированной степени по каждой из переменных, причем при ограничении дz на кривой Г он ограничен по модулю. Получаем. Рассматриваем произвольную аналитическую функцию. Выбираем произвольную точку точку z0 из области и произвольную её окрестность. По интегральной формуле коши получаем n-ую производную в точке z0. Те функция, аналитическая в области, бесконечно-дифференцируема в этой области. Т Лиувилля. Пусть функция f(z) аналитична на всей комплексной плоскости и существует a > 0, M > 0 такие, что для любого z (~C |f(z)| <=M|z|^a. Тогда f(z) – многочлен, степень которого не превышает [a] – целой части a. Док-во: a = m + r, m = [a]. Выбираем произвольную точку z0 и R > 0. Расписываем [a]+1 производную в z0 через интегральную формулу Коши. f([a] +1) = {([a]+1)!/2пi}$<|w-z0|=R>f(w)dw/(w-z0)^([a]+2). Оцениваем сверху, используя условие теоремы, получаем ([a]+1)!(1 + |z0|/R)^a/R^([a]+1-a). Так как функция целая, то можем устремить радиус к бесконечности, получим, что производная равна 0. В силу произвольности точки получаем, что она везде равна 0, те условие теоремы доказано. Следствие: Если функция аналитическая на всей плоскости и существует M > |f(z)|, то функция констнатна.