17. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Определитель Гурвица имеет размерность nxn, где n – порядок хар-ого ур-ия

Определитель составляется так:

1) по главной диагонали сверху вниз записывают коэф-ты а, начиная с a_n-1

2) Все столбцы формируют так: вниз от диагонали записывают коэф-ты по возрастанию, а вверх – по убыванию. Недостающие поля заполняются нулями.

Далее формируются все главные диагональные миноры:

Формулировка критерия:

Для того, что бы линейная САУ была устойчивой необходимо и достаточно что бы при a_n>0, определитель Гурвица, построенный по характеристическому ур-ию САУ, а также все его главные диагональные миноры были положительными. Если хотя бы 1 из них <0, то САУ неустойчива, если хотя бы 1 из них =0, то САУ нах на границе устойчивости. Если a_n<0, то полином нужно умножить на -1.

Достоинством этого метода явл. отсутствие вычисления корней и легкость алгоритмизации.

Недостаток: исследовав устойчивость разомкнутой САУ ничего нельзя сказать о замкнутой САУ; если система неустойчива то ничего неизвестно о том какой коэф-т надо поменять, что бы она стала устойчивой.

18. Частотн. Крит. Михайлова.

Как и все частот. критерии треб. постороен. частотн. характеристик. Поэтому здесь имеем дело с комплексн. плоск. и годографом. Использ. как у Гурвица характеристич. полином: D(p)=0 или D(p)+M(p)=0

В данном критерии нужно построить годограф Михайлова: D(p) => p->jw =>

D(jw)=a₀+ja₁w-a₂w²-ja₃w³+a₄w⁴+…=P(w)+jQ(w)

Критерий Михайлова:Для того, чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно характеристический гадограф, построенный в диапазоне [0; ∞) начинался на вещественной оси, положительной ее части, и проходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадратов комплексной плоскости, где n – порядок характ. уравнения.

Годограф Михайл, как и годогр. АФЧХ не пересекает сам себя.

Увеличивая а₀ сист. станет неустойч. ∆А - запас устойчивости.

Крит. чередующихся корней.

Данный крит. вытекает из крит. Мих., по сути являясь его модификацией. Легко заметить, что крит Мих. устойчив. сист. любого порядка поочередно пересекает оси, и нарушение порядка приведет к неустойч. системы. Значит можно не строить годограф, а проверить порядок пересечен. осей.

∆(p)=a₀+…+a_npⁿ

D(jw)=(a₀-a₂w_­­­²+a₄w⁴-…)-j(a₁w-a₃w³+a₅w⁵+…)

Решив P(w)=0, найдем все корни w(p_i); Q(w)=0, найдем все корни w(q_i), w(q₁)=0.

Разместим корни на условной числовой оси:

Критерий: необх. и достаточн. услов. устойч-ти лин САУ явл., чтобы корни веществ. части комплекс. характеристич. функции чередовались на числ. оси с корнями мним. части этой ф-ции, причем первым должен быть корень мнимой части и он должен быть =0

Достоинства: не нужно строить годограф.

Недостатки: меньше наглядн., нужно вычисл. корни, нельзя определ. запас устойчивости.

19. Частотный критерий Найквиста (для статических систем).

По данному крит. годограф строится для всей комплекс. частотной ф-ции передачи W(jw) и исключительно для разомкн. САУ, кот. представл. собой набор последоват. звеньев, иногда для параллельн. Зато по годографу легко судить об устойчивости и др. характеристиках.

Для разомкнутой САУ не сложно определить устойчивость: если все элементы САУ устойчивы, то вся система устойчива.

1.Если разомкнутая САУ устойчива, то для того, чтобы она осталась устойчивой при замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой САУ не охватывал критическую точку (-1;j0).

Если годограф охватыв. т.(-1;j0), то сист. неуст

Также можно определ. запас устойчив по амплитуде ∆А:

2.Если разомкнутая САУ неустойчива и имеет k-положительных корней (полюсов передаточной функции в правой части плоскости), то для того чтобы замкнутая САУ стала устойчивой, необходимо и бостаточно, чтобы гадограф АФЧХ разомкнутой САУ охватывал критическую точку (-1;j0) ровно +k/2 раз (+ в положительном направлении).