30. Изменение матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных, канонический вид квадратичной формы.

При переходе к новому базису матрица квадратичной формы изменяется по принципу В’=T^TBT. (где Т-матрица перехода от базиса е₁…e_n, к базису e₁’…e_n’.

Будем говорить, что квадратичная форма имеет канонический вид, если ее матрица – диагональная. Нормальной формой квадратичной формы назыйвают такой ее канонический элемент, в котором ненулевые элементы ее матрицы =±1

Теорема Лагранжа: Существует базис, в котором квадратичная форма имеет нормальную форму. Существует следующее правило выбора замены переменных для квадратичной формы:

31. Приведение квадратичной формы к каноническому виду, закон инерции для квадратичных форм.

Говорят, что кв-яформа имеет канон-й вид, если ее матрица диагональна, т.е. все ее коэфф-ты a_ij=0 (i=еj). Говорят, что кВ-я форма имеет нормальный вид, если она имеет канон-й вид, у кот-й коэфф-ты a_ij=0 принимают значение или 0.

Т-ма: Для каждой кв-й формы сущ. базис, в котором она имеет канон-й вид и сущ. базис, в кот. она имеет норм-й вид. Сл-е: Всякая симмет-я матрица ------диагональной.

Метод Лагранжа. Суть метода состоит в след-ем: есликоэфф-ты при a_ij 0, то берем производную по х_i и возводим в квадрат половину этой произ-й, и умножаем на величину, обратную к a_ij.

Закон инерции. Независимо от способа приведения кв-й формы к канон-кому виду число положит-х, отриц-х и нулевых коэф-тов в канон-м виде будет одно и то же.

32. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Кв-я форма k(x) наз-ся положит-но определенной, если для х k(x)>0.

Отриц-но определенной, если для х k(x)<0. Кв-я форма k(x) наз-ся неотриц.(напол.) опред-ной, если для х , k(x) 0 (k(x) 0). Если форма k(x) отриц. опр-я, то k(x)=- k(x) пол-я опр-я форма.

Т-ма1(необходимое усл-е пол-й опред-ти): Если кв-я форма пол. опр-я, то все коэф-ты a_ij>0, i= .

Т-ма2(достат-е усл-е): Если все------ эл-ты матрицы ка-й формы, заданной в канон-м виде положит., то кв-я форма будет полож. Определенной.

Критерий Сильвестра. Кв-я форма явл. положит. опред-й в том и только том сл-е, если все главные миноры ее матрицы в нек. Базисе полож-ны.

Кв-я форма наз-ся знакоопределенной, если она явл. Либо положит., либо от отрицат. опред-й. (-1)ⁱ >0 – усл-е положит. опр-ти.

33. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Т-ма: Пусть k(x)-кв-я форма, зад. в эвклид. пространстве, тогда сущ. ортонормир. форма имеет канонич. вид.

Из теоремы след., что для приведения кв-й формы к канонич. виду, необходимо у ее матрицы, зад. в нек. базисе найти собств. значения и собств. векторы. Тогда в базисе из собств. векторов эта кв-я форма будет иметь канонич. вид. Коэф-ты при квадратах будут собств. значения этой матрицы.