22. Симметричные матрицы и их св-ва. Приведение симметр. Матрицы к диаг. Виду.

Опр. Кв.матр. А наз-ся симметричной, если .

Св-ва симметр.матриц:

1.(А+В)- симметр, если А,В- симметр.сумма симм.матриц=симм.матр.

2.Если А- невырожд. симм.матр., то - симм.матрица.

Всякая симм.матрица мб приведена преобразованием подобия к диаг.виду. Можно считать, что симм.матрица- матр. нек. самосопряж. оператора в ортонормир. базисе. С др. стороны, сущ-ет ортонормир. базис, в к-ом данный самосопряж. оператор имеет диаг. матрицу. А поскольку матр. перехода от 1-го ортонормир. базиса к др. явл-ся ортогон., то, след-но, всякая симм. матр. с пом. ортогон. преобразования мб приведена к диаг. виду.

, где А-симм. матр., Т-ортогон. матр., -диаг.

Поск. , .

23. Сопряж. Операторы и их св-ва.

Опр. Оператор наз-ся сопряж. для оп-ра , если (fx, y)=(x, y), x,y E.

Лемма. Если для x,y E справедл. рав-во (fx, y)=(gx, y),то f=g.

(fx, y)-(gx, y)=((f-g)x, y)=0 x, y E

(f-g)x=0, x E

f-g= O –нул. оп-р

f=g.

Т.Для каждого оператора f: сопряж. оп-р сущ-ет и ед-ный. При этом, если А- матр. оп-ра f в нек. ортонормир. базисе, то явл-ся матр. этого же оп-ра в этом же базисе.

24. Оператор наз-ся самосопряж., если .

Следствие. Матр. самосопряж. оп-ра в ортонормир. базисе симм.

Т1. Все собств. значения самосопряж. оп-ра действительные.

Т2. Собств. вект., отвеч. различным собств. значениям ортогон.

Т3. Сущ-ет ортонормир. базис в пр-ве , сост. из собств. векторов самосопряж. оп-ра : .

28. Билинейная форма, ее матрица, изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Опр1. Говорят, что в линейн. простр. L над полем R задана билинейн. форма, если любой паре х,у € L поставл. в соотв число по некоторому правилу, т.е. задана ф-ция В(х,у) двух векторных аргументов, котор. удовл. след. требованиям:

1. Для любых x,y,z € L, B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z)

2. Для любых x,y,z € L , B(x,y+z)=B(x,y)+B(x,z)

3. Для любых x,y € L, λ€R, B(λx,y)=λB(x,y)

Выберем некоторый базис е₁…е_n (1) Возьмем 2 произв.вектора x= ∑β_ie_i, y=∑β_je_j. Тогда матрица билинейной формы B=[b_ij], где b_ij=(e_i∙e_j). Если ввести корд. столбцы X,Y, то билинейная форма B(x,y) в базисе(1) может быть записана:B(x,y)=X^TBY(2).

Пусть дан еще один базис е’₁…е’_n(3). Т - матрица перехода от базиса(1) к базису(3). Пусть В’ – матрица билинейной формы в базисе(3). Тогда В’=Т^ТВТ(4).

Т1. При переходе к новому базису матрица билинейной формы преобразуется по формуле(4). Матрицы билинейных форм в различных базисах конгруэнтны.

Опр2.Билинейная форма назыв. симметричной, если B(x,y)=B(y,x).

Т2. Матрица симметричной билинейной формы в любом базисе симметричная.

∆bij=B(ei,ej)=B(ej,ei)=bji □

Примером симметричной билинейной формы является скалярное произведение.

29. Квадратичная форма и ее матричная запись.

Опр.1 Квадратичной формой К(х) называется ф-ция одной векторной переменной х€L, которая равняется К(х)=В(х,х), где В – некоторая билинейная симметричная форма.

Билинейная форма В(х,у) на основании которой построена квадратичная форма называется соответствующей билинейной формой. По квадратичной форме однозначно определяется соответствующая билинейная форма. В(х,у)=1/2*(К(х+у)-К(х)-К(у)

Опр.2 Матрицей квадратичной формы в заданном базисе е₁…е_n называют матрицу соответствующей билинейной формы в этом же базисе. B=[b_ij], где b_ij=(e_i∙e_j).