13 Модель бездефецитной торговли

Пусть n стран торгуют между собой. Обозначим через нац-ный доход i-той страны; – это часть нац. дохода, которую j-тая страна тратит на закупку товаров из i-той страны. + + … + =

= - это доля нац. дохода j-той страны, кот-я тратится на закупку товаров в i-той стране. = 1

C элементами составим матрицу:А = – структурная матрица международной торговли

Сумма элементов по столбцам равна 1

Сумма элементов по строкам: + + … + = – все то, что покупают у i-той страны => выручка i-той страны в этой торговле.

. не может быть больше, чем (доход)

=> АХ = Х Х =

Для бездефицитности торговли нац. доходы стран должны быть коорд-ми собственного вектора структурной матрицы с собственным значением .

14 Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду

TH М-ца лин. оператора имеет диаг-ный вид только в том случае, если сущ-ет базис в пр-ве из собственных векторов этого оператора. М-ца лин. оператора в базисе из собственных векторов – диаг-ная.

Док-во: Пусть сущ-ет базис , … , из собственных векторов f ( ) =

A =

f ( ) = следовательно, сущ-ет базис из собственных векторов.

Ч.Т. Д Пусть матрица А – м-ца лин. оператора f задана в некотором базисе , … , и пусть сущ-ет базис из собственных векторов , …, в этом базисе А’ – диаг-я, выразим векторы базиса [е'] через векторы базиса [е]

[е'] = [е] Т, где Т - м-ца перехода. Поэтому у м-цы Т столбцы – координаты собственных векторов, выраженные в базисе [е].

A’ = T^-1 A T

Это соотношение дает правило приведения матрицы линейного оператора к диаг-му виду, если у него сущ-ет базис из собственных векторов.Если все характ-кие числа м-цы лин. оператора различны и пренадлежат полю Р, то его м-ца может быть приведена к диаг-му виду

Пусть - собственное значение кратности к больше 1. (А – Е) Х = 0 эта система бедет иметь ФСР состоящую из к в том случае, если ранг матрицы rank (А – Е) = n – k

TH Если характ-кие числа м-цы А = ₁ … _n кратности к₁ … к_n (к₁ + … + к_n = n) при этом rank (А – Е) = n – _I I = 1.... n, то сущ-ет невыр-я м-ца Т, такая что A’ = T^-1 A T имеет диаг-ный вид.

Правила приведения матрицы к диагональному виду:

1. Пусть матрица линейного оператора в некотором базисе. Находим ее характеристические числа и определяем их кратность

Проверим, все ли характеристические числа пренадлежат полю Р, если нет, то матрица не приводится к диагональному виду; если да, то следующий шаг

2. Проверяем условие (А – _i Е) = n – _I , если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то матрица не может быть приведена к диагональному виду; если все выполняются, то следующий шаг

3. Находим матрицу перехода от данного базиса к базису из собственных векторов, для этого решаем систему (А – Е) Х = 0

4. Строим матрицу А', у которой на главной диагонали стоят собственные значения оператора f , при этом каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность, все остальные элементы 0

5. Строим матрицу Т перехода, в которой столбцами являются координаты собственных векторов, при том располагаются они в соответсвии с расположением собственных значений матрицы А'