5.Подпространство векторного пространства.

Лин.подпр-вом Х лин.пр-ва L над Pназ-ся мн-во эл-в пр-ва L,котор. Само явл-ся лин. пр-вом с опред-ми внутр. и внеш. операциями. Пример:L=C, P=R и L=R

Т.X L, где Х – подпро-во пр-ва L над P,

Док-во Лин.оболочкой вект-в (a₁,..,a_n ) (1) лин пр-ва L наз-ся мн-во Вект. (1) наз-ся системой образующих

Т. лин. Оболочка сист. вект.(1) явл-ся линейным подпр-вом пр-ва L, разменр-ть этого подпр-ва = числу лин.независим-х вект-в, содержащихся в (1).

Док-во Пусть L-лин пр-во над P и X₁,X₂ – лин.подпр-ва. Опр1. Объединением подпр-в X₁,X₂ наз-ся мн-во эл-в пр-ва L, кот. как подпр-ву X₁, так и X_2. Опр2. Суммой подпр-в X₁, X₂ наз-ся мн-во вект-в z=x+y, таких, что x X₁ и y∈ X₂ Опр3. Прямой суммой 2-х подпр-в X₁, X₂ наз-ют сумму 2- подпр-в, если их пересечение содержит только нейтр. Эл-ты. Аналогичным обр-ом можно опр-ть объединение, сумму и прям. Сумму любого конечн. мн-ва лин. подпр-в.

Т.1. Объед. И сумма 2-х лин. Подпр-в явл-ся также лин. Подпр-вом.

Т.2. dim(X₁+X₂)=dim X₁+dim X₂-dim(X₁∩X₂)

6. Изоморфизм векторных пространств, универсальный пример конечномерного векторного пространства

2 лин. пр-ва L₁ L₂ наз-ся изоморфными, если сущ-ет невырожденный лин. Оператор f:L₁->L₂

Св-ва изоморфизма:

1. Рефлексивность: L₁~L₂

2. Симметричность: L₁~L₂ ,L₂~L₂

3. Трансзитивность: L₁~L₂, L₂~ L₃ => L₁~ L₃

Т. Конечномерн. лин. пр-ва L₁ и L₂ изоморфны т и т.т, если они имеют одинаковую размер-ть

Вообще говоря, можно измерить n-мерные пр-ва Pⁿ, сост-е из набора n-чисел и соот-но все св-ва будут переноситься на любое n-мерное пр-во.

7. Линейный оператор, примеры, свойства.

Лин. оп-ром , где L и L’ – два лин. пр-ва над одним и тем же полем Р наз-ся отображение, удовлетворяющее след. услов.: 1)

Усл. 1) и 2) можно заменить одним: .

Прим.1.

1) , , ,

Прим.2. Тождественн. лин. оп-р.

Прим.3.

- мн-во непрер. на отрезке функц.

D: - оп-р диф-я D будет лин. (выполн-ся два услов.)

Прим.4. - пр-во трехмерных свободн. векторов.

- лин. оп-р проектирования векторов на ось

= .

Св-ва лин. оп-ров:

1. лин. оп-р преобразует нейтральный элем. пр-ва в нейтрал. элем. пр-ва (

2. лин. оп-р преобразует лин.зависим. вект. в лин. зависим.

Т. Если - (1) базис в пр-ве L_n и –(2) некоторый набор элем. в пр-ве , тогда сущ-т единственный лин. оп-р такой, что

8.Матрица лин. Оп-ра. Изменение матр. Оп-ра при замене базиса.

- преобразователь пр-ва. Пусть - базис (1)

(2)

[

(2’)

Матр. А, удовлетворяющая рав-ву (2’) наз-ся матр. лин. оп-ра в базисе (1).

Матр. лин. оп-ра в баз. (1) – матр., столбцами которой явл-ся коорд. столбцы образов базисных вект. в этом же баз.

Рассмотрим мн-во всех лин. оп-ров, кот. действуют из . Каждому лин. оп-ру ставится в соответств. в заданн. баз. некоторая матр. М. В данном баз. можно установить взаимнооднозначн. соответств. между матриц., действующ. из .

Связь между коорд. вект. и его образом в заданн. баз.

. Пусть , где - коорд. столб.

[

= = .

Изменение матр.лин. оп-ра при измен. баз. Пусть (1) и (2)- два базиса в пр-ве . и - соотв. матр. оп-ра в соотв. баз. (1) и (2), тогда

. (3)

Матр. и , связанные рав-вом (3), где Т- невырожд. матр., наз-ся подобными.

Т.2. Подобные матр. имеют равные определители.