
- •1Опред., св-ва и прим. Вект-х пр-в.
- •2Лин-я зависимость системы векторов.
- •3Базис лин. Пр-ва, размерность. Коорд-ты.
- •4. Матрич.Запись коо вект-в, изм. Коо при замене базиса
- •5.Подпространство векторного пространства.
- •6. Изоморфизм векторных пространств, универсальный пример конечномерного векторного пространства
- •7. Линейный оператор, примеры, свойства.
- •8.Матрица лин. Оп-ра. Изменение матр. Оп-ра при замене базиса.
- •9. Действия над лин. Оп-ми. Матр. Суммы и произвед. Лин. Оп-ров.
- •10.Обратный лин. Оператор его матрица
- •11.Собственные векторы л.О., собств. Значения, характерист. Уравнение.
- •12.Правило нахождения собств. Векторов и собств. Значений
- •13 Модель бездефецитной торговли
- •14 Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
- •15 Евклидовы пространства. Определение, примеры
- •22. Симметричные матрицы и их св-ва. Приведение симметр. Матрицы к диаг. Виду.
- •23. Сопряж. Операторы и их св-ва.
- •24. Оператор наз-ся самосопряж., если .
- •28. Билинейная форма, ее матрица, изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.
- •29. Квадратичная форма и ее матричная запись.
- •30. Изменение матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных, канонический вид квадратичной формы.
- •31. Приведение квадратичной формы к каноническому виду, закон инерции для квадратичных форм.
- •32. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
- •33. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.
1Опред., св-ва и прим. Вект-х пр-в.
Числ-е поле Р – мн-во R или C. Внутр. операции – двум эл-м из L соотв-ет третий из L(x+y=z).Внешн. – каждому x из L и каждому α из Р соотв-ет некоторый эл-т из L(αx=z)/ Мн-во L эл-в x,y,z , … наз-ся лин. пр-вом, если в нём определены внутрен. (x+y) и внешн. (αx) опер. удовл-щие аксиомам:
x+y=y+x, x,yєL;
(x+y)+z=x+(y+z), x,y,zєL;
нейтр-ный эл-т
x x є L;
x є L -xє L: x+(-x)=
α(x+y)=αx+αy x, y є L; α,βєP ;
(α+β)x=αx+βx x є L; α,βєP;
α(βx)=(αβ)x x є L; α,βєP;
1*x=x x є L.
Св-ва лин. пр-ва
В лин. пр-ве L над полем P ед-ный нейтр. эл-т. (пусть
и
,
)
xєL ед-ный –xєL(пусть -x и
, тогда x+(-x)= , x+ = ;
).
0*x= x є L(
);
(-1)x=-x x є L(
).
Примеры:
Эл-ты любой природы ,удовл-щие двум правилам и 8 аксиомам.Напр., совок-ть любых матриц mxn c действит. эл-тами(P=R). Мн-во свободных векторов трёхмерного пр-ва – L, P=R. Лин. пр-во наз-ся пустым ,если состоит из нулевого эл-та.
2Лин-я зависимость системы векторов.
,
,
…,
(1) – заданные в-ры из L.
Система (1) лин.
зависима,
если сущ-ет ненулевой набор чисел
,
(не
все
=0):
=
(2)
Система наз-ся
лин. независимой,
если рав-во (2) возможно только в том
случае, когда все
=0.
Пр.1
L=C ; P=R;
,
=i;
,
.
1*1+i*i=0 Пр.2Возьмём
L=C ; P=R;
=i;
+
=0
<=>
,
Св-ва
1Система
(1) сод-т 0 вектор, то она лин. зависима(
;
1=…=n-1=0,
n=1;
0*a1+…+0*an-1+1*
=
).
2Система (1) сод-т лин. зависимую подсистему, то и сама система лин. зависима.
3Система линейно зависима, то по крайней мере 1 из векторов этой системы выр-ся в виде лин. комбинации остальных векторов.
4
Пусть система (1) лин. независима а набор
,
,
…,
лин.
зависим, тогда x
можно выразить через векторы (1).
3Базис лин. Пр-ва, размерность. Коорд-ты.
Базисом
в пр-ве L
над полем Р наз-ся система в-ров
(1),
удовл-я усл-ям:
1Система (1) лин. независима;
2xϵL
:
x=α1a1+α2a2+…+αnan(2)
Коорд. в-ра х в базисе (1) – числа (αiϵP), удовл-щие усл-ю (2)
Св-ва:
1Если коорд. вектора в некотором базисе =0,то это нулевой вектор.
2 во всяком базисе имеет нулевые коорд.
3Коорд. в-ров в заданном базисе определяются однозначно.
4 При сложении векторов их коорд. заданные в одном и том же базисе складываются.
5При умножении вектора на число, его коорд. умн-ся на число.
Число k наз-ся размерностью лин. пр-ва L, если в L сущ-ет система из k лин. независимых векторов, а любая система из k+1 вектора — лин. зависима.
Обозначается dimL = k. Пр-во L наз-ся k-мерным. Иногда обозначается Lk.
4. Матрич.Запись коо вект-в, изм. Коо при замене базиса
Вект. х(λ1,..,λn) в некот.базисе (е1,..,еn).обозначим Х=(λ1,..,λn)Т и [e]= (е1,..,еn), эл-ми явл. базисн. вект.
Тогда вект. Х можно предст. след.обр. х=[e]Х=х1е1+..+ хnеn т.е это разлож. вектора х по базису.
Т.для того, чтобы вект. х1, х2,.., хп были лин.зав. необх. и дост., чтобы коо-столбцы этих вект. В некот. Базисе были лин.зав.
Т.матричн.критерий. для того,чтобы вект. Были лин.зав., необх и дост, чтобы матрица, сост. из коо. Столбцов этих вект. В некот.базисе была меньше числа вект.
Преобр.базисов и коо. Пусть им-ся 2 базиса[e]=[е1,..,еn], [e’]=[е1’,..,еn’]в одном пр-ве L над P.выразим коо штрих. базиса ч/з коо нештрих.
коо
в нештрих.базисе штрих-го. Матрица Т
наз-ся матрицей перехода от [e]к[e’]
[e’]=[e]T.
– связь между двумя базисами
Св-ва матрицы перех:
1.матрица перех. Опр-ся однозначно. Это след-ет из одно-ти разлож. Вект-в по бизасу.
2. матрица перех. невырожденн. Это след-ет из матричн.критерия лин.зав-ти вект-в.
3. матрица перех. от базиса [e]к[e] единичная
4. пусть Т-матрица перех.от [e]к [e’]. А матрица Q от [e’]к [e’’].Тогда матрица перех от [e]к [e’’] будет TQ.
5. если Т-матрица перех. от [e]к [e’],то T-1есть матрица перех. от[e’] к [e].
Преобр. коо вект-в при перех. К новому базису
Псть даны базисы [e], [e’] и матрица Т, т.е. [e’]=[e]T. Возьмем произв.вектор х и его можно предст. х=[e]Х=[e’]Х’; [e]Х=[e]TХ’=> поск-ку коо вект-ра в данном базисе опр-ся однозначно X=TX’