3.2. Алгебраические действия над комплексными числами.

Для выполнения алгебраических действий над комплексными числами (№ 91-120) необходимо проработать литературу: [1, т. 1, гл. VI, § 3, с. 137, 138; 3, т.2, § 5.3, с. 239-244], где содержатся теоретический материал и практические рекомендации по данной теме.

Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов с учетом . При записи результата следует отделить действительную часть от мнимой, т. е. собрать отдельно члены, содержащие множитель , и члены, не содержащие множитель :

В частности, . Операции сложения и вычитания сводятся к сложению и вычитанию векторов, изображающих эти числа. Отсюда расстояние между точками .

y z1 z2 z1+z2 x Рисунок 6

Пример 5. – уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным . Деление на комплексное число, отличное от нуля, определяется как действие, обратное умножению.

Для представления частного в виде

следует провести простые преобразования, показанные на следующем примере.

Пример 6. .

Для модуля и аргумента произведения и частного справедливы следующие утверждения:

1.

Пример 7. Найти модуль и аргумент произведения .

Решение. .

Таким образом, умножение на соответствует повороту вектора на угол;

2. .

Пусть .

Тогда .

Можно доказать методом полной математической индукции, что для любого целого (формула Муавра). Формула справедлива и для целых отрицательных .

Пример 8. Вычислить .

y 0 x -1 z Рисунок 7

Решение ,

,

.

Корнем -й степени из комплексного числа называется такое число , для которого .

Используя формулу Муавра, получим

Для других значений аргументы будут отличаться от полученных на число кратное , и, следовательно, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, корень -й степени из комплексного числа имеет различных значений.

Пример 9. Найти все значения и построить их.

y φ x Рисунок 8

Решение. , , ,

,

,

.

4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

В задачах № 91-120 при отыскании общего решения дифференциального уравнения первого порядка следует использовать литературу [2, т. 2, гл. VI, § 3, 4, с. 161 - 166; 4, п. 12.5-12.8, с. 169-277].

Перед решением задач нужно определить тип уравнения и метод решения, при этом можно руководствоваться табл.1.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Так как , то получаем уравнение – уравнение первого типа. Разделяем переменные

где – произвольная постоянная. Можно оставить решение в таком виде или выразить в явном виде

.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Это уравнение второго типа, однородное, следовательно, делаем подстановку . Уравнение примет вид

.

Получили уравнение с разделяющимися переменными

.

Здесь мы обозначили произвольную постоянную не , а для удобства записи

.

Можно оставить решение в таком виде, а можно выразить явно

.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Это линейное уравнение (табл.1). Делаем подстановку . Подставив эти соотношения в исходное уравнение, получаем . Одну из функций находим из уравнения

,

тогда вторая функция определяется из уравнения .

Решая первое уравнение, находим функцию , то есть

,

Таблица 1