Кинематика
Кинематика рассматривает геометрические свойства в движении тел.
Движение материального объекта всегда следует рассматривать относительно какого либо твёрдого тела.
С телом отсчёта скрепляем систему осей координат, принимая её за систему отсчёта, относительно которой рассматривается движение материального объекта.
Движение тела по отношению к выбранной системе отсчёта считается заданным, если известно условие, позволяющее определить положение тела в любой момент времени.
Кинематика точки
Траектория точки – геометрическое место её последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассмотренной системы отсчёта.
Траектории делятся на:
-прямолинейные
-криволинейные
Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения тела по величине и по направлению.
Ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по велечине и по направлению
Способы задания движения
Естественный
Используется, когда известны:
-траектория
-начало отсчёта
-положительное направление отсчёта
M
O
Координатный
Положение точки в пространстве определяется координатами x,y,z.
X=x(t); y=y(t); z=z(t)
Векторный
Движение задаётся радиусом вектором этой точки
r=r(t)
Скорость точки
Способы задания:
Векторный
M(t)
O
-геометрическое
приращение радиуса-вектора
Средней скоростью точки за время t называется отношение геометрического приращения радиуса-вектора к соответствующему приращению времени.
Истинную или мгновенную скорость находят как предел средней скорости при Δt→0
Естественный
Алгебраическая скорость точки:
Координатный
Ускорение точки
Способы задания:
Векторный
Среднее ускорение точки за промежуток времени Δt равно отношению геометрического приращения скорости точки к соответствующему приращению времени
Истинное или мгновенное ускорение точки – предел среднего ускорения при Δt→0
Координатный
Естественный
Вектор
тангенциального ускорения
направлен по касательной, характеризует
изменение скорости только по величине.
Вектор
нормального ускорения
направлен по главной нормали к траектории
точки в сторону вогнутости прямой.
Частные случаи движения точки
Прямолинейное движение
,
то
,
Равномерное криволинейное
Движение точки, в котором численная величина скорости всё время остаётся постоянной.
Равномерное прямолинейное
Равнопеременное криволинейное движение
-если
является постоянной величиной
Кинематика тела
Числом степеней свободы твёрдого тела называют число независимых параметров, определяющих положение тела относительно рассматриваемой системы отсчёта.
Поступательное движение твёрдого тела - это движение, при котором любая прямая остаётся параллельной своему первоначальному положению в каждый момент времени.
Траекторией точек у поступательного движения твёрдого тела могут быть прямые, любые кривые и окружности.
При поступательном движении твёрдого тела траектория, скорость и ускорение всех точек тела одинаковы.
Следствие:
Так, как при поступательном движении тела все точки его точки движутся одинаково, то кинематику поступательного движения тела можно свести к кинематике точки.
Вращательное движение тела
Вращением тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором две точки тела остаются неподвижными.
Z
B
A
A и B – неподвижные точки тела
Прямая, проходящая через неподвижные точки тела называется осью вращения.
Чтобы знать положение тела, надо знать зависимость угла поворота от времени.
У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, - 1 степень свободы.
,
N
– число оборотов
Угловая скорость и угловое ускорение тела
Средняя угловая скорость тела за промежуток времени Δt
Угловая скорость в момент времени t
Средняя угловое ускорение тела за Δt
Угловое ускорение в момент времени t
Если угловое ускорение E>0 и
– тело вращается ускоренно в положительную
сторону (против часовой стрелки)Если E<0, – тело вращается ускоренно в отрицательную сторону
Если E>0,
– замедленное вращение в положительную
сторонуЕсли E>0, – замедленное вращение в отрицательную сторону
Частные случаи вращения твёрдого тела
Равномерное:
Равнопеременное:
Связь линейных и угловых характеристик
Формула Эйлера
Сложное движение точки
-это такое движение точки, при котором точка перемещается не только по отношению к неподвижной, но и по отношению к подвижной системе отсчёта.
Различают абсолютное, относительное и переносное движения.
Абсолютное – движение точки по отношению к неподвижной системе отсчёта;
Относительное – движение точки по отношению к неподвижной системе отсчёта;
Переносное – движение точки, вызванное перемещением подвижной системы отсчёта.
Теорема
о сложении скоростей.
Z
абсол
относ
m
перенос
0
Y
X
Пусть
точка М ха промежуток времени Δt
совершает вдоль траектории относительное
перемещение, определяемое вектором
.
Сама
кривая AB,
двигаясь вместе с подвижными осями,
перейдёт в новое положение
.
Одновременно
та точка m
к кривой AB,
с которой в момент времени t
совпадает точка M,
совершит переносное перемещение,
определяемое вектором
,
следовательно точка M
придёт в новое положение
,
определяемое вектором
,
и совершит абсолютное перемещение.
l :Δt
,
Где
Т.к.
при Δt→0
прямая
стремится к совпадению кривой AB,
то
можно заменить
Вектора
скоростей
направлены по касательным к соответствующим
траекториям.
Абсолютной называют скорость точки по отношению к неподвижной системе отсчёта;
Относительной называют скорость точки по отношению к подвижной системе отсчёта;
Переносной скоростью называют скорость той точки – подвижной системы отсчёта, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка.
Теорема о сложении скоростей.
При сложном движении абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.
Кориолиовым ускорением в точке называют величину, характеризующую изменение относительной скорости точки при переносном движении и переносной скорости относительно точки при её относительном движении.
Относительное ускорение характеризуется изменением относительной скорости только при относительном движении.
Переносное ускорение характеризуется относительной скоростью только при переносном движении.
Кориолисово ускорение равно нулю:
1)При
поступательном переносном движении,
2)Если относительная скорость равна нулю
3)
Кориолисово ускорение, его направление определяют по правилу Жуковского:
1.Спроектировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения.
2.Повернуть проекцию на 90˚ в направлении переносного вращения.
3.Умножить эту проекцию на удвоенную угловую скорость переносного вращательного движения.
Плоско – параллельное движение тела
Это такое движение тела, при котором все точки его перемещаются в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
A
B
O
OA – кривошип, совершающий вращательные движения;
B – ползун, совершающий поступательные движения;
AB – шатун, совершающий плоскопараллельные движения.
Теорема 1. Всякое перемещение плоской фигуры в её плоскости из одного положения в другое можно осуществить при помощи переносного поступательно вместе с некоторой точкой фигуры (полюсом) и относительным вращением вокруг этой точки, причём вращающаяся часть движения от выбора полюса не зависит, а характеристики поступательной части плоского движения зависят от выбора полюса.
Положение AB можно определить, зная координаты точки A и угол , который образует AB с осью X.
Уравнения плоско – параллельного движения тела:
Формула сложения скоростей в плоском движении
M
A
Теорема 2. Проекции скоростей всех точек отрезка прямой на направлении самой прямой равны.
B
A
X
M
Пусть точка A – полюс, тогда:
Ч.т.д.
Теорема 3. Или теорема Шаля: всякое перемещение плоской фигуры из одного положения в другое можно осуществить при помощи одного вращательного движения вокруг некоторой точки, лежащей в этой же плоскости.
A
B
P
Следствие: 1. Скорости точек плоской фигуры направлены перпендикулярно к отрезкам прямых, соединяющих точки с центром вращения.
2.Скорости точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до центра вращения.
3.Угловая скорость плоской фигуры равна отношению скорости любой её точки к расстоянию до центра вращения.
Теорема Шаля не пригодна, если:
1)отрезки
параллельны;
2)отрезки расположены на боковых сторонах равнобедренной трапеции.