Тема 4. Интегрирование
1. Первообразная. Теорема о двух первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства.
Функция F(x) называется первообразной функции ƒ(х) на интервале (а; b), если для любого х є (а;b) выполняется равенство
F'(x)=ƒ(x) (или dF(x)=ƒ(x)dx).
Теорема
.
Если
и
—
две первообразные для функции f
(х)
в некотором промежутке, то разность
между ними в этом промежутке равна
постоянному числу.
Из
этой теоремы следует, что если известна
какая-нибудь первообразная F
(х)
данной функции f
(х),
то все множество первообразных для f
(х)
исчерпывается функциями F
(х)
+ С.
Выражение F
(х)
+ С,
где F
(х)
— первообразная функции f
(х)
и С
— произвольная постоянная, называется
неопределенным
интегралом
от функции f
(х)
и обозначается символом
,
причем f
(х)
называется подынтегральной
функцией
;
—
подынтегральным
выражением,
х
— переменной
интегрирования;
∫ —
знак неопределенного интеграла.
Таким образом, по определению
если
.
Возникает вопрос: для
всякой ли
функции f
(х)
существует первообразная, а значит, и
неопределенный интеграл?
Теорема
2.
Если функция f
(х)
непрерывна
на [a
; b],
то на этом отрезке для функции f
(х)
существует
первообразная.
2. Элементарные преобразования и вывод всех табличных первообразных.
????????????????????????????????????????????????????????????????????
3. Правило интегрирования по частям. Замена переменной интегрирования.
Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке
[a;b], то имеет место формула
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть
требуется вычислить интеграл
Сделаем
подстановку
где
—
функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда
и
на основании свойства инвариантности
формулы интегрирования неопределенного
интеграла получаем формулу
интегрирования подстановкой:
Теорема 39.1. Если:
1) функция х= ɣ(t) и ее производная х' = ɣ'(t) непрерывны при t ϵ [α;β];
2) множеством значений функции х= ɣ(t) при t ϵ [α;β] является отрезок [a;b];
3) ɣ(а) = а и ɣ(β) =b,
то
- формула замены переменной в определенном интеграле.
4. Интегрирование рациональных дробей, иррациональных выражений, тригонометрических функций. Тригонометрические замены.
Всякую неправильную рациональную дробь Р(х)/Q(x) можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби.
Правило интегрирования рациональных дробей:
1) если рациональная дробь является неправильной нужно представить ее в виде полинома и правильной дроби.
2) представить знаменатель в виде произведения сомножителей в скобках имеющ. Степень не больше 2.
3) правильную дробь с полученным знаменателем представить в виде суммы простых дробей.
4) берем интеграл от полинома если он получ. И суммы простых дробей.
Вычисление неопределенных интегралов типа R(sinX, cosX) dx сводиться к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой tg(x/2)=t, которая называется универсальной.
Стр 248
Где R1(t) - рациональная функция от t.
Правила:
1)если функция R(sin x, cos x) нечетная относительно sin x , т.е. R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x) , то подстановка xos x = t рационализирует интеграл.
2) если функция R(sin x, cos x) нечетная относительно cos x, R(sin x,- cos x)= -R(sin x, cos x), то делается подстановка sin x=t.
3) если функция R(sin x, cos x) четная относительно cos x, и sin x R(-sin x, -cos x)= R(sin x, cos x), то интеграл рационализируется подстановкой tgX=t. такая подстановка применяется, если интеграл имеет вид R(tgX)dx.