3. Спектральный состав последовательности прямоугольных импульсов при различном периоде их скважности.

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов изображена на рис. 1.4. Постоянная составляющая ряда Фурье определяется из выражения и для данного случая равна .

А мплитуда cos-составлящей а_n равна

, а амплитуда sin-составляющей b_n равна .

Амплитуда n-ой гармоники

Амплитуда n-ой гармоники зависит от величины т. е. изменяется согласно этому закону.

О

Рис. 1.5. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

пределим номера гармоник n₀, которые обращаются в нуль. Это возможно, если , откуда , k=1, 2, 3, …, и . Определим далее соответствующие «нулевые» частоты, т. е. те частоты, на которых амплитуда равна нулю . .

В ид спектра такой последовательности показан на рис 1.5. Изобразим вид спектра последовательностей с различными параметрами  и Т (рис. 1.6).

Скважность — один из классификационных признаков импульсных систем, определяющий отношение периода следования (повторения) импульсов одной последовательности к их длительности.

где S — скважность, D — коэффициент заполнения, T — период импульсов, τ — длительность импульса.

4. Непериодические сигналы. Спектральная плотность.

Гармонический анализ периодических сигналов можно распространить и на непериодические сигналы, для которых S(t)S(t+kT). Пусть непериодический сигнал задан на некотором интервале t₁<t<t₂. Превратим формально эту функцию в периодическую, повторяющуюся с периодом T>t₂–t₁. Тогда эту функцию можно разложить в ряд Фурье и найти коэффициенты a₀/2, a_n, b_n. Устремив T  (ведь исходная функция S(t) непериодическая), получим бесконечное множество гармоник, составляющий сплошной спектр (т. к. интервал между гармониками определяется величиной 1/ T) с бесконечно малыми амплитудами.

Используем комплексную форму записи разложения периодической функции в ряд Фурье

(1.7)

Где (1.8)

Подставим выражение для из (1.8) в соотношение (1.7),Ю тогда получим, что

,

(1.9)

Устремим T  для того, чтобы периодическая функция стремилась к непериодической. При этом d, n – текущая координата, . Кроме того, пределы интегрирования расширим до . Если все эти изменения внести в выражение (1.9), то оно примет вид

.

(1.10)

Обозначим внутренний интеграл в выражении (1.10) через S(), т. е. (1.11)

Это выражение носит название «спектральная плотность». Подставив в равенство (1.11) в соотношение (1.10), получим (1.12)

Выражения (1.11) и (1.12) называются прямым и обратным преобразованием Фурье. Сравнивая выражения (1.11) и (1.8) можно заключить, что выражение для амплитуд гармоник A_n периодического сигнала отличается от выражения для спектральной плотности сигнала только коэффициентом 2/Т: .

Таким образом, 2 получается путем деления амплитуды n-ой гармоники на интервал частот между соседними гармониками, поскольку . Отсюда следует, что спектральной плотности можно придать смысл плотности амплитуд.