6(1). Симметр. Преобр. Евклидовых пространств.

Опр. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам и сопоставлено действительное число (обозначаемое ), и это соответствие удовлетворяет условиям, , и и число

1.

2.

3.

4.

Опр. Линейное преобразование φ евклидова пространства V, называется симметрическим (самосопряженным),если

Т1:Линейное преобразование явл. симметрическим тогда и только тогда, когда соотношения выполняются для любой пары , элементов произвольно выбранного базиса евклидова пространства V.

Опр. Квадратная матрица наз. сим-метрической, если для всех i и j от 1 до n .

Т2: Линейное преобразование φ евклидова пространства V, является симметрическим тогда и только тогда, когда матрица этого преобразования в любом ортонормированном базисе явл. симметрической.

Т3. Собственные векторы симметрического преобразования φ, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны.

Док-ва. Пусть - собственные вектора симметрического преобразования φ принадлежащие соответственно собственным значения тогда так как φ симметрическое преобразование

Так как собственные векторы

Получим или

. Отсюда . Так как то . Значит, , то есть векторы ортогональны

Т4. Собственные значения симметрического преобразования φ всегда действительные числа.

Предположим, что среди собственных значений симметрического преобразования φ есть комплексный корень .

Пусть - собственный вектор φ, соответствующий собственному числу , тогда его координаты – комплексные числа.

Известно, что корни многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряжены. Значит, среди собственных значений преобразования φ есть число . Этому значению соответствует вектор , координаты которого сопряжены с соответствующими координатами вектора .

Рассмотрим скалярное произведение векторов и . В ортонормированном базисе скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

так как и

По теореме 3 так как

Полученное противоречие доказывает, что собственные значения симметрического преобразования φ всегда действительные числа

Лемма. Если L — подпространство евклидова пространства V, инвариантное относительно симметричного линейного преобразования φ, то ортогональное дополнение тоже инвариантно относительно φ.

Пусть . Проверим, что для любого . Имеем , ибо по условию .

Т5. Если - собственный вектор симметрического преобразования φ и ортогонален , то вектор ортогонален

ортогонален

Т6. Для каждого симметрического линейного преобразования евклидова пространства, сущ-ет ортонормированный базис этого пространства, состоящий из собств. векторов преобразования.