§3. Линейные пространства. Базис. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы линейных преобразований.

Рассмотрим непустое множество V элементов произвольной природы. Зададим на этом множестве правило, по которому любым двум элементам множества V становится в соответствие однозначно определенный элемент этого же множества. Это правило назовем сложением и обозначим а+b=с.

На множестве V зададим правило, по которому каждому числу а из поля Р и каждому элементу из множества V ставится в соответствие однозначно определенный элемент из множества V. Это правило назовем умножением элемента на число и обозначим ka= b.

О.Множество V элементов произвольной природы называется линейным (векторным) пространством над полем Р, а элементы множества называются векторами, если на этом множестве указаны две операции: сложение векторов и умножение вектора на число, удовлетворяющие двум группам аксиом.

I. Аксиомы сложения.

1. а, b, c V , (а +b)+ с = а +(b+ с) - сложение ассоциативно.

2. а, b V , a +b = b+ a - сложение коммутативно.

3. а V, o V: a+ = 4. а V, b V:a+b = o

II. Аксиомы умножения на число.

1. а V, 1* а=а (1- единица поля Р)

2. а V, k,m Р , (k + m) а= kа + mа

3. а, b V, k Р, k(a +b)= ka+kb

4. а V, k,m Р, k(m а)=( km) а

Примеры линейных пространств.

1. n-мерное арифметическое простр-во над полем Р

2. множество всех матриц данного размера m*n над полем Р

Опр. Базисом линейного пространства называется упорядоченная система векторов этого пространства, удовлетворяющая двум условиям:

1. данная система векторов линейно независима

2. любой вектор пространства линейно выражается через данную систему векторов.

Теорема. Разложение любого вектора по данному базису линейного пространства единственно.

Док-во. Пусть - базис линейного пространства V. Пусть х V.

Предположим, что существует два разложения вектора х по базису

и

Вычтем из первого равенства второе, получим:

Так как - базис, то последнее равенство возможно, если все коэффициенты равны 0.

следовательно

О. Коэффициенты разложения вектора х по данному базису называются координатами вектора относительно данного базиса.

x=(x¹,x²,…,xⁿ)- строка из координат

Т. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы строки (столбцы) из их координат.

Т. Если в линейном пространстве существует базис из n векторов, то любой другой базис в этом пространстве состоит из n векторов.

Док-во Пусть в линейном пространстве существуют два базиса и d₁,d₂,…,d_m, причем m>n. Каждый из векторов базиса d₁,d₂,…,d_m разложим по базису и составим матрицу, столбцами которой будут координаты векторов d₁,d₂,…,d_m .

Получим матрицу размерами mxn и ранг (число линейно независимых строк в матрице) ее не превосходит n.Так как m>n,то есть число векторов превышает их размерность, следовательно, столбцы матрицы линейно зависимы, значит, зависимы и векторы d₁,d₂,…,d_m, что невозможно, так как d₁,d₂,…,d_m - базис.

Таким образом, получаем противоречие. Значит, все базисы состоят из одного и того же числа векторов

Опр. Линейное пространство, в котором существует базис из n векторов, назовем n-мерным, а число n - размерностью пространства.

Опр. Пусть V₁ и V₂ - два векторных пространства над одним полем Р.

Отображение : V₁ —> V₂ называется линейным, если:

1. х, у V₁, (х+у)= (x)+ (y)

2. Р, х V₁ ( х)=k (x)

Если V₁ = V₂, то называется линейным преобразованием пространства V₁.

Опр. Пусть -линейное преобразование линейного пространства V над полем Р. Ненулевой вектор х V называется собственным вектором преобразования , если существует Р такое, что х= x. При этом называется собственным значением (или собственным числом) преобразования .

Укажем два свойства собственных векторов.

Св-во1. Собственные векторы линейного преобразования,принадлежащие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Св-во2. Пусть -линейное преобразование пространства V и - некоторое собственное число . Обозначим через L₁( )-множество всех собственных векторов, принадлежащих . Добавим к этому множеству нулевой вектор и обозначим через L( )=L₁( ) . Тогда L( ) является подпространством пространства V (оно называется собственным подпространством, относящимся к собственному числу ).

Д-во. Пусть x₁,x₂ L( ), тогда x₁= x₁ и x₂= x₂. Рассмотрим (х₁+х₂). В силу линейности получим: (х₁+х₂)= х₁+ х₂= x₁+ x₂= (х₁+х₂). Откуда следует, что х₁₊х₂ также собственный вектор преобразования , соответствующей собственному числу .

Аналогично рассмотрим (kх₁)=k х₁=k x₁= (kх₁). Откуда следует, что kх₁также собственный вектор с собственным числом .

Значит, L( )- подпространство пространства V.