3.Классификация по методам компьютерной реализации.

____________________________________________________________

Данная классификация не является четкой, т.к. на практике чаще всего используются смешанные методы. Одним из таких методов является гиперболическое программирование.

3. Гиперболическое ( дробно-линейное) программирование

Определение 1. Задачей дробно- линейного программирования называется нелинейная задача математического программирования, в которой целевая функция имеет дробно-линейный вид.

f(x) = L1(x) / L2(x),

где L1(x) = c1x1+ ... + cnxn и L2(x) = c2x2+ ...+cnxn - линейные функции от

x =(x1, ... xn)ÎR, xj>0, j=1, ... ,n , а условия, определяющие множество допустимых планов, задаются линейными уравнениями или неравенствами. Такую задачу модно записать ввиде:

с1x1+ ... +cnxn

f (x) = d1x1+ ....+dnxn

A1x<=b1; A2x = b2; x>=0, где А1=(aij) - матрица размера k n, A2=a(k+1,j) - матрица размера (m-k) n, b1=(b1, ... , bk), b2=(bk+1, ... , bm).

Будем предполагать, что в области К , которая задается указанными условиями, знаменатель дробно-линейной функции положителен.

Если требуется рассмотреть задачу на максимум, то в задающей функцию дроби достаточно смерить знак у коэффициентов числителя.

Поскольку ограничения задачи линейны, то множество К допустимых планов - многогранник.

Рассмотрим двумерный случай и выясним, как устроены линии функции f(x). Они задаются уравнением:

h= с1x1+c2x2

d1x1+d2x2

гле h есть некоторая постоянная. Преобразуем его к виду:

с1x1+c2x2 = h(d1x1+d2x2)"

и далее к виду

(c1-hd1)x1+(c2-hd2)x2 =0

Это уравнение задает на плоскости x1ox2 прямую линию, которая проходит через начало координат О(0;0) и имеет угловой коэффициент k

c1- hd1

k= c2 - hd2

При изменении h угловой коэффициент также изменяется. Вместе с k=tga

меняется угол a наклона прямой к оси Оx1

x2

увеличивается

k

уменьшается



x 1

Если зависимость k от h такова, что при увеличении h угловой коэффициент k увеличивается, то это означает, что прямая поворачивается против часовой стрелки при росте значений f(x) . Если же при увеличении h угловой коэффициент k уменьшается, то прямая поворачивается по часовой стрелке при росте f(x). Это обстоятельство можно использовать при графическом решении задач. Достаточно исследовать зависимость k от h, чтобы установить, в каком направлении нужно поворачивать прямую линнию вркруг начала координат, пока она все еще пересекает многоугольник K допустимых планов, чтобы решить задачу на минимум или максимум.

Заметим , что зависимость k от р задается формулой:

k = с1 -h d1

c2- h d2

а зависимость h от k - формулой

с1+с2k

h= d1+d2k

Графиками той и другой зависимостей служат гиперболы. Построить графики легко, найдя асимптоты гиперболы и точки пересечения графика с осями координат.