Тема 4. Двойственные задачи в линейном программировании.

1. Общие сведения

В математике встречаются ситуации, когда для некоторой задачи (назовем ее I) можно по определенным правилам построить другую задачу II, причем из решения задачи I автоматически вытекает и решение задачи II. Такие задачи I и II называют двойственными задачами. Пример двойственных задач мы встречаем и в линейном программировании. Рассмотрим метод построения и основные свойства двойственных задач на примере решения производственной задачи (см. тему 2). Прямая задача I уже известна нам из темы 2. Задача II, двойственная к исходной задаче I, состоит в следующем.

Каковы должны быть цены единицы ресурсов каждого типа, что бы при заданных количествах ресурсов и стоимостях единицы изделий видов общие затраты Z производства были минимальными.

Сформулируем эту задачу математически. Поскольку стоимость всех ресурсов, затраченных на изготовление единицы изделия каждого вида, не может быть меньше стоимости этого изделия, то имеем систему из n неравенств с m неизвестными.

а Общие затраты производства (общая стоимость ресурсов на производстве) определяется целевой функцией

где при всех j = 1, 2, …, m.

Требуется найти такие значения переменных которые удовлетворяли бы системе ограничений – неравенств (15) и обеспечивали минимум целевой функции З. Эту задачу в принципе так же можно решить симплекс-методом.

2. Сравнение прямой и двойственной задач линейного программирования.

Сопоставляя математические формулировки задач I и II., можно обнаружить следующие особенности :

а если в задаче I имеем m неравенств c n неизвестными (система 2), то в задаче II – n неравенств с m неизвестными (система 16), причем знак неравенств изменяется на противоположный;

б если I задача – задача на максимум целевой функции F, то II – задача на минимум другой целевой функции Z;

в коэффициенты в задаче I описываются матрицей норм затрат ресурсов, а коэффициенты в задаче II описываются транспонированной матрицей, полученной при перестановке местами строк и столбцов матрицы норм затрат ресурсов.

Рассматриваемую пару задач I и II называют симметричными двойственными задачами, так как системы ограничений (2) и (15) в них заданны неравенствами вида и и на переменные и накладывается условие неотрицательности

3. Основная теорема двойственности

Основная теорема двойственности, доказанная в теории линейного программирования, состоит в следующем. Если одна из двойственных задач (I или II) имеет оптимальное решение, то и другая задача так же имеет оптимальное решение, причем максимум целевой функции прямой задачи и минимум целевой функции обратной задачи численно равны, т.е.

Это теорема широко используется при решении задач линейного программирования

4. Свойства двойственных оценок и их экономический смысл.

При решении двойственной задачи II для каждого ресурса находят определенное значение условной цены единицы этого ресурса называемое двойственной оценкой ресурса. Двойственные оценки имеют конкретный экономический смысл и используются при анализе полученных в прямой задаче I оптимальных планов. С их помощью можно :

а выявить степень дефицитности каждого ресурса

б определить приращение целевой функции F при увеличении запаса данного ресурса на одну единицу.

При этом используются следующие свойства двойственных оценок

1) Положительное значение могут иметь лишь те виды сырья, которые полностью используются при оптимальном плане производства. Оценки сырья, не полностью используемого в производстве, всегда равны нулю.

2) Если мы желаем расширить производство, то анализ полученных величин позволяет выявить «узкие места», сдерживающие рост производства.

Если то соответствующий вид сырья является дефицитом. Чем больше величина тем более дефицитным будет соответствующий вид сырья.

Если , то соответствующий вид сырья является избыточным, т.е. На производстве имеется остаток этого сырья.

3) Величина для каждого вида сырья показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции F, если бы объем данного сырья на производстве увеличился на единицу.