Дано лиуф-2. Провести построение численного метода квадратур приближенного решения. В чем состоит интерполирование по ядру?
Пример:
Используя
квадратурную формулу трапеций, построить
алг метода квадратур для решения с
точностью
интегрального уравнения
Числ
мет реш ИУ: К
ЛИУ относится ур-е Фредгольма 2 рода
Ур-е
им ед решенеие в том случае, если 
не
является СЗ ядра К. а,b,
,
f(x),
u(x)
– входные данные
-
если есть реш ≠
0, то пар-ры
явл
СЗ ядра
Метод квадратур:
Числ метод прибл реш ИУФ, ИУВ основан на замене интеграла формулами числ интегрирования
,
–
погрешность числ интегрирования. Коэфф
с образуется из величин, зависящих от
шага (коэф кв формулы), S-
узлы кв формулы.
Распростран. явл.формулы Ньютона-Котеса(где h=const), к ним относятся ф-лы:
1.средн.
прямоугол, кот им вид 
,
коэф 
=h,
h=(b-a)/n,
2.
Ф-ла трапеций:
,
где 
3.Ф-ла
Симпсона: 
,
,
если lim
и
не зависит от способа разбиения отрезка,
то этот интеграл определенный.
Построение
метода квадратур:
Рассмотрим 
.
Для построения дискр модели предполагаем,
что нам изв точное решение ИУ: u*(x),
тогда для него запишем: u*(x)-
=f(x)+
(
,
k,
c,
u*),
F(x)=k(x.S)u(s)
Отбрасываем
погрешность: 
(x)-
*=f(x)
Получим
линейные (сеточные) ур-я: 
Каждое из них завясит от шага, как от пар-ра (шаг зависит от разбиения) => получили семейство сеточных ур-й (сеточная схема).
≈
u*(
)-прибл
к точному решению.
Получили СЛАУ, кот можно решить методом Гаусса. Запишем в векторном виде:
Тогда
для разрешимости ур-я предполагаем, что
СЗ А не совп. с СЗ ядра К, т.е. 
(*)
Интерполирование
по ядру: Воспользуемся
(*) Для построения алг: 
.
Строим : 
.
Сначала получаем
,
затем по ним получаем 
.
Если взять 
и рассматривать как узлы интерполяции,
то получим интерпол мнг (т.е значение
ф-ии в узлах интерполяции совпадает со
значением интерпол мнг)
Сеточное ур-е приближается к ЛИУФ-2, т.е имеет место устойчивость и аппроксимация.
17. Разностный метод решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
Разностный метод
решения ИУФ основан на замене интеграла
функции численный интегралом:
погрешность
численного интегрирования.
Апроксимация:
для
точного решения используем формулу
Если запишем её для сетки аргументов, то мы можем судить о погрешности апроксимаци.
Построим сеточное
уравнение для погрешности:
-точное
решение для дискретной задачи, 
-точное
решение для исходной задачи на сетке
В правой части получили невязку сеточного уравнения на точном решении исходной задачи.
Определение:
сеточное уравнение метода квадратур
аппроксимируют ЛИУФ 2-го рода, если 
и аппроксимируют его с точностью порядка
Лемма об
аппроксимации:
при дост. Гладкости подынтегрального
выражения 
и при сходимости квадр. процесса равн.
по 
ЛИФУ-2 апроксимируется сеточным уравнением
с порядком сходимости квадр. формулы
Доказательство:
,
если заменим 
-погрешность
квадратурной формулы, т.е. 
.
При усл равн сходимостити кв процесса
погрешность аппроксимирует для сеточного
уравнения стремится к 0.
Устойчивость:
СЛАУ: 
Определение: метод
квадратур называют устойчивым если
,
не зависимое от h
и f,
такое что 
или для СЛАУ:
,
-число
обусловленностити, если оно <10, то
матрица хорошо обусловлена и означает
непр завис реш от входных данных.
,
c-диаг
матрица из коэффициентов квадр формулы;
-матрица, полученная дискретизацией
ядра 
Сходимость: Теорема:
1. λ-параметр
в ИУФ-2 не является СЗ ядра 
.
Исходная задача задана корректно.
2.Подынтегральная
функции 
достаточно гладкая и квадрат проц
сходится 
.
При этом погрешность аппроксимации 
т.о. квадр метод аппроксимации исходной
задачи ЛИУФ-2 с порядком использ квадр
формулы.
3. Сет. Уравнение мет квадратур уст и хорошо обусл.
Тогда метод
квадратур сходится в смысле: 
Доказательство:
-сет
уравнение
,
по
св-ву норм 
Пример. Сформировать
модельное уравнение Фредгольма второго
рода с ядром 
и точным решением 
.
Построить для него разностную схему
методом квадратур с формулой
прямоугольников, обеспечивая сходимость
и точность 
.
Общий вид ур-я: 
Для простоты возьмем 
(есть множество ур-й с таким решением,
нам нужно всего одно).
Подставив в общий вид известные нам функции (неиз. только f(x)):
.
Таким образом модельным ур-ем будет:
.
1)Теперь постр. для него разн. схему с
квадр. форм. прямоуг. (левых): 
,
т.е. 
2)Заметим, что формула прямоуг. имеет
порядок 
3_Согласно методу мы заменим уравнения
на линейные: 
–
решая СЛАУ получим прибл. значения
искомой функции в узлах.