- •1.Случайные события. Действия над событиями.
- •2.Классическое определение вероятности и ее свойства.
- •3.Аксиоматическое определение вероятности.
- •4. Формулы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.
- •5. Условная вероятность. Независимость событий.
- •6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли.
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •9. Функция распределения вероятностей и её свойства.
- •10. Плотность распределения вероятностей и её свойства.
- •11. Математическое ожидание и его свойства.
- •12. Дисперсия и ее свойства.
- •13. Коэффициент корреляции и ковариация.
- •14. Моменты
- •15. Основные дискретные распределения случайных величин.
- •16. Равномерное и показательное распределение.
- •17. Нормальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева. Сходимость случайных последовательностей.
- •23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод.
- •26. Эмпирическая функция распределения.
- •27. Гистограмма и полигон.
- •28. Числовые характеристики выборки.
- •29. Точечное оценивание.
- •33. Распределение , Стьюдента и Фишера.
- •1. Распределение (хи-квадрат).
- •Распределение Фишера.
- •34 Проверка статистических гипотез.
- •36. Критерий согласия Пирсона.
- •38. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
- •39.Сравнение средних двух нормальных выборок.
- •40. Дисперсионный анализ.
- •41. Парная регрессия.
- •42. Парный коэффициент корреляции, его свойства.
- •43. Проверка гипотез о достоверности коэффициента корреляции.
- •44. Нелинейная парная регрессия
40. Дисперсионный анализ.
Часто возникает задача в ср-и законов нормального распределения в m группах H0:F1(x)=…=Fm(x). Например, поступило задание сравнить успеваемость студентов 4 специальностей. Сравнение основывается на вычислении дисперсий. Сравнивают дисперсии, обусловленные влиянием факторов, и дисперсий, обусловленных влиянием случайных величин. Поэтому называется дисперсионный анализ. Если 1 дисперсия достоверно больше 2 дисперсии, то делают вывод о различии функции распределения в группах.
Рассмотрим сначала однофакторный дискретный анализ, т.е. имеется m групп однородных объектов и изучается влияние на них одного фактора. Например, изучаемый признак – успеваемость, а фактор специальность.
Предположим, что каждая группа имеет нормальное распределение Xi~N(0,1), i= . Тогда нулевую гипотезу формулируют так H0:a1=…am
Т.к. несмещенной остается ошибкой мат ожидания выборочной средней, то
При конкурирующей гипотезе H1 не все средние равны между собой.Пусть объемы в группах одинаковы
Средние сравнивают между собой. Пусть специальность не влияет на успеваемость.
; ; -общая средняя.Разложим общую сумму квадратов отклонений на факторную и остаточную
-остаточная сумма квадратов отклонений, она обусловлена влиянием случайных величин. Характеризует рассеяние внутри группы. -факторная сумма квадратов отклонений. Характеризует рассеяние между группами.
Т.о. . Построим дисперсию по каждой из этих сумм
Для сравнения факторных и остаточных дисперсий построим их математического ожидания.
Для справедливости H0 F=0 и чем больше F значение отличное от нуля, тем больше факторная дисперсия. Проверка H0 осуществляется следующим образом:
Вычисляем наблюдаемое значение критерия
По таблице критических точек распределения Фишера по выбранному уровню значимости и числу степеней свободы (m-1) и (mn-m) находим Fкр.
если Fнабл < Fкр., то говорят, что нет основания отвергнуть H0. Следовательно средние в группах различаются недостоверно (случайно). – нет отклика на воздействие. если Fнабл > Fкр., то H0 . отвергается и принимается H1 , следовательно средние в группах различаются достоверно. – есть отклик на воздействие.
Замечание 1. Если Fнабл <1, то сразу H0 принимается.
Замечание 2. Пусть объемы в группах неодинаковы. Значит число степеней свободы остаточной дисперсии N-m.
Замечание 3. Если H0 отвергается, то не все средние в группах равны между собой. При этом часто интересует в каких именно группах есть различия. Если число m невелико, то это можно установить с помощью критерия Стьюдента, сделав C попарных сравнений средних. В стандартных компьютерных программах реализовано процедура попарного сравнения. Если выборочные данные Xi не соответствуют нормальному распределению, то применение дисперсионного анализа может привести к ошибочным выводам. В этом случае необходимо применить непараметрический дисперсионный анализ.